สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

อินพุต x(t) = 10·e^−6tu(t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e^−1tu(t) จงหาเอาต์พุต y(0.5) ที่ t = 0.5 s

x(t) = 10·e^−6tu(t)h(t) = e^−1tu(t)t = 0.5 s

y(0.5) =

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

ระบบเป็นไปตาม y′(t) + 4·y(t) = 5·x(t) จงหาการตอบสนองต่ออิมพัลส์ที่ t = 1 s, h(1)

y′ + 4y = 5xt = 1 s

h(1) =

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (4s + 32)/(s² + 7s + 10) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−2t + B·e^−5t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (4s + 32)/(s² + 7s + 10)

A =

4.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 5y′ + 6y = 12·u(t) โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 4 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.1)

y″ + 5y′ + 6y = 12·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 4t = 0.1 s

y(0.1) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 24/(s² + 2s + 12) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 24/(s² + 2s + 12)

t_p = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 2)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 30 %

G(s) = K/(s(s + 2))%OS = 30 %

K =

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 28(s + 10)/(s(s + 5)) ที่ ω = 5 rad/s เป็นองศา

G(s) = 28(s + 10)/(s(s + 5))ω = 5 rad/s

∠G(jω) = °

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 4)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 4))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(0.5) = 1.113

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

อินทิกรัลคอนโวลูชัน

y(t) = 10e^−1t∫₀ᵗ e^{−(6 − 1)τ} dτ = 10(e^−1t − e^−6t)/(5)

คำนวณค่า

y(0.5) = 10·(0.6065 − 0.04979)/(5) = 1.113

คำตอบ

y(0.5) = 1.113

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: h(1) = 0.09158

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

ฟังก์ชันถ่ายโอน

H(s) = Y(s)/X(s) = 5/(s + 4)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

h(t) = 5·e^−4tu(t)

h(1) = 5·e⁻⁴ = 0.09158

คำตอบ

h(1) = 0.09158

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 8

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 7s + 10 = (s + 2)(s + 5)

F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 5)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 2) และตั้ง s = −2: พจน์ B หายไป

A = (4s + 32)/(s + 5) |_{s = −2} = 24/3 = 8

คำตอบ

A = 8

(B = −4 ดังนั้น f(t) = 8·e^−2t − 4·e^−5t)

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.1) = 4.102

แปลงสมการ

(s² + 5s + 6)·Y(s) = 4s + 20 + 48/s

Y(s) = (4s² + 20s + 48)/(s(s + 2)(s + 3))

เศษส่วนย่อย

A = 48/(2·3) = 8

B = 24/((−2)·1) = −12

C = 24/((−3)·(−1)) = 8

ผลลัพธ์

y(t) = 8 − 12·e^−2t + 8·e^−3t

y(0.1) = 4.102

คำตอบ

y(0.1) = 4.102

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 4

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 0.9472 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 12 → ωₙ = 3.464 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·3.464) = 0.2887

ผลลัพธ์

ω_d = 3.464·√(1 − 0.2887²) = 3.317 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.9472 s

คำตอบ

t_p = 0.9472 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 7.809

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 2s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.3)/√(π² + ln²(0.3)) = 0.3579

อัตราขยาย

ωₙ = 2/(2ζ) = 2.794 rad/s

K = ωₙ² = 7.809

คำตอบ

K = 7.809

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −108.4 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(5/10) − 90° − atan(5/5) = 26.57° − 90° − 45°

ผลลัพธ์

∠G(j5) = −108.4°

คำตอบ

∠G(jω) = −108.4°

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 2 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/1)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·4) = 2 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 2 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems