สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

อินพุต x(t) = 4·e^−6tu(t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e^−2tu(t) จงหาเอาต์พุต y(2) ที่ t = 2 s

x(t) = 4·e^−6tu(t)h(t) = e^−2tu(t)t = 2 s

y(2) =

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

อินพุต x(t) = 5·cos(3t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = 2·e^−2tu(t) จงหาเฟส φ ของเอาต์พุตสถานะคงตัวเทียบกับอินพุต ในหน่วยองศา

h(t) = 2e^−2tu(t)x(t) = 5cos(3t)

φ = °

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = 16/(s² + 8s + 12) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−2t + B·e^−6t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = 16/(s² + 8s + 12)

A =

4.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 4y′ + 13y = 2u′ + u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.25 s จงหา g(0.25)

y″ + 4y′ + 13y = 2u′ + ut = 0.25 s

g(0.25) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 132/(s² + 6s + 44) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

G(s) = 132/(s² + 6s + 44)

ζ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 160/(s(s + 8)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 160/(s(s + 8))

t_s = s

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 4(s + 12)/(s(s + 7)) ที่ ω = 10 rad/s เป็นองศา

G(s) = 4(s + 12)/(s(s + 7))ω = 10 rad/s

∠G(jω) = °

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 68/(s(s + 4)(s + 8)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 68/(s(s + 4)(s + 8))

GM = dB

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(2) = 0.01831

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

อินทิกรัลคอนโวลูชัน

y(t) = 4e^−2t∫₀ᵗ e^{−(6 − 2)τ} dτ = 4(e^−2t − e^−6t)/(4)

คำนวณค่า

y(2) = 4·(0.01832 − 6.144 × 10⁻⁶)/(4) = 0.01831

คำตอบ

y(2) = 0.01831

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: φ = −56.31 °

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

การตอบสนองเชิงความถี่

H(jω) = 2/(2 + jω)

เฟสที่ความถี่อินพุต

φ = −atan(3/2) = −56.31°

คำตอบ

φ = −56.31°

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 4

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 8s + 12 = (s + 2)(s + 6)

F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 6)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 2) และตั้ง s = −2: พจน์ B หายไป

A = 16/(s + 6) |_{s = −2} = 16/4 = 4

คำตอบ

A = 4

(B = −4 ดังนั้น f(t) = 4·e^−2t − 4·e^−6t)

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.25) = 0.4741

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = (2s + 1)/(s² + 4s + 13)

เศษส่วนย่อย

s² + 4s + 13 = (s + 2)² + 3²

G(s) = 2·(s + 2)/((s + 2)² + 3²) + (−3/3)·3/((s + 2)² + 3²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e^−2t·(2·cos 3t − sin 3t)

g(0.25) = 0.4741

คำตอบ

g(0.25) = 0.4741

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.4523

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 44 → ωₙ = 6.633 rad/s

2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·6.633) = 0.4523

ผลลัพธ์

ζ = 0.4523

คำตอบ

ζ = 0.4523

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 1 s

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 160/(s² + 8s + 160): ωₙ = 12.65 rad/s, ζ = 0.3162

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 8/2 = 4

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1 s

คำตอบ

t_s = 1 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −105.2 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(10/12) − 90° − atan(10/7) = 39.81° − 90° − 55.01°

ผลลัพธ์

∠G(j10) = −105.2°

คำตอบ

∠G(jω) = −105.2°

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 15.04 dB

จุดตัดเฟส

(ω/4)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·8) = 5.657 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 64)) = K/(4·8·(4 + 8)) = K/384

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(384/68) = 15.04 dB

คำตอบ

GM = 15.04 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems