สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
ระบบอันดับหนึ่ง
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์
สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

  1. ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
  2. กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
  3. คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
  4. ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง
x(t)t22h(t)t1

พัลส์ x(t) = 2 สำหรับ 0 ≤ t < 2 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e−0.5tu(t) จงหาเอาต์พุต y(3) ที่ t = 3 s หลังจากพัลส์สิ้นสุดแล้ว

x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−0.5tu(t)t = 3 s
y(3) =
2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก
δ[n]4+h[n]0.6·z⁻¹+

ระบบเป็นไปตาม y[n] = 0.6·y[n − 1] + 4·x[n] และเริ่มที่สภาวะพัก จงหาตัวอย่างการตอบสนองต่ออิมพัลส์ h[5]

y[n] = 0.6y[n − 1] + 4x[n]x[n] = δ[n]
h[5] =
3.การแปลงลาปลาซปานกลาง
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 24)/(s² + 10s + 21) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e−3t + B·e−7t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (s + 24)/(s² + 10s + 21)
A =
4.การแปลงลาปลาซยาก
t (s)y(t)t = 0.75y(0.75) = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(0.75)

y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.75 s
y(0.75) =
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)3

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 36/(s² + 4s + 12) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jωd จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 36/(s² + 4s + 12)
σ =
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
k = 500 N/mc = 54 N·s/mm = 4 kgF = 100 Nx(t)

มวล m = 4 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 500 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 54 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 100 N กะทันหัน จงหาเวลา tp ที่การกระจัดมีค่ามากที่สุด

m = 4 kgk = 500 N/mc = 54 N·s/mF = 100 N
tp = s
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
|H| (dB)0.10.1111010100100−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 3

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 49(s + 1)/(s(s + 3)) ที่ ω = 3 rad/s เป็นองศา

G(s) = 49(s + 1)/(s(s + 3))ω = 3 rad/s
∠G(jω) = °
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)11101010010010001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 1000/(s(s + 20)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 1000/(s(s + 20))
PM = °

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(3) = 1.534

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e−at)

เอาต์พุตเมื่อสิ้นสุดพัลส์

y(2) = (2/0.5)(1 − e−1) = 2.528

การลดลงหลังพัลส์

y(3) = 2.528·e−0.5·1 = 1.534

คำตอบ

y(3) = 1.534
2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: h[5] = 0.311

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

วนซ้ำ

h[0] = 4
h[1] = 2.4
h[2] = 1.44
h[3] = 0.864
h[4] = 0.5184
h[5] = 0.311

ผลลัพธ์

h[5] = 4·(0.6)5 = 0.311

คำตอบ

h[5] = 0.311
3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 5.25

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 10s + 21 = (s + 3)(s + 7)
F(s) = A/(s + 3) + B/(s + 7)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 3) และตั้ง s = −3: พจน์ B หายไป

A = (s + 24)/(s + 7) |s = −3 = 21/4 = 5.25

คำตอบ

A = 5.25
(B = −4.25 ดังนั้น f(t) = 5.25·e−3t − 4.25·e−7t)
4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.75) = 2.065

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แปลงสมการ

Y(s) = 18/(s(s + 1)(s + 3))

เศษส่วนย่อย

A = 18/(1·3) = 6
B = 18/((−1)·2) = −9
C = 18/((−3)·(−2)) = 3

สารน้ำออก

y(t) = 6 − 9·e−t + 3·e−3t
y(0.75) = 2.065

คำตอบ

y(0.75) = 2.065
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −2

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 12 → ωₙ = 3.464 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·3.464) = 0.5774

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −4/2 = −2

คำตอบ

σ = −2
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: tp = 0.3525 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(500/4) = 11.18 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 54/(2·√(500·4)) = 0.6037

ผลลัพธ์

ωd = 8.913 rad/s
tp = π/ωd = 0.3525 s

คำตอบ

tp = 0.3525 s
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −63.43 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(3/1) − 90° − atan(3/3) = 71.57° − 90° − 45°

ผลลัพธ์

∠G(j3) = −63.43°

คำตอบ

∠G(jω) = −63.43°
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 34.93 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 400ω² − 1 × 10⁶ = 0
ω² = (−400 + √(160000 + 4·1 × 10⁶))/2 = 819.8
ωc = 28.63 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jωc) = −90° − atan(28.63/20) = −145.1°
PM = 180° + ∠L = 34.93°

คำตอบ

PM = 34.93°

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems