สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
ระบบอันดับหนึ่ง
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์
สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

  1. ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
  2. กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
  3. คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
  4. ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง
x(t)t5h(t)t1

อินพุต x(t) = 5·e−4tu(t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e−0.5tu(t) จงหาเอาต์พุต y(0.25) ที่ t = 0.25 s

x(t) = 5·e−4tu(t)h(t) = e−0.5tu(t)t = 0.25 s
y(0.25) =
2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก
x(t)t (ms)0.41210

ขบวนพัลส์มีความสูง 10 ความกว้างพัลส์ 0.4 ms และคาบ 1 ms จงหาแอมพลิจูด c1 ของฮาร์มอนิกลำดับที่ 1 ที่ 1000 Hz

A = 10τ = 0.4 msT = 1 ms
c1 =
3.การแปลงลาปลาซปานกลาง
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−81

F(s) = (5s + 35)/(s² + 9s + 20) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e−4t + B·e−5t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (5s + 35)/(s² + 9s + 20)
A =
4.การแปลงลาปลาซยาก
t (s)y(t)t = 0.2y(0.2) = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 3y′ + 2y = 2·u(t) โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 4 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.2)

y″ + 3y′ + 2y = 2·u(t)y(0) = 5y′(0) = 0u(t) = 4t = 0.2 s
y(0.2) =
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)3tp​ = ?

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 282/(s² + 9s + 94) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด tp ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 282/(s² + 9s + 94)
tp = s
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
R(s)+Ks(s + 8)G(s)C(s)−

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 8)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 2 %

G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 2 %
K =
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​L = 100 mHC = 0.1 µFR = 50 Ωvout​

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 50 Ω โดย L = 100 mH และ C = 0.1 µF จงหาแบนด์วิดท์ −3 dB BW ใน Hz

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0.1 µF
BW = Hz
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 4.4/(s(s + 4)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 4.4/(s(s + 4))
PM = °

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(0.25) = 0.7352

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e−at)

อินทิกรัลคอนโวลูชัน

y(t) = 5e−0.5t∫₀ᵗ e−(4 − 0.5)τ dτ = 5(e−0.5t − e−4t)/(3.5)

คำนวณค่า

y(0.25) = 5·(0.8825 − 0.3679)/(3.5) = 0.7352

คำตอบ

y(0.25) = 0.7352
2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: c1 = 6.055

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

วัฏจักรหน้าที่

D = 0.4/1 = 0.4

แอมพลิจูดของฮาร์มอนิก

c1 = (2·10/(1π))·|sin(1π·0.4)| = 6.055

คำตอบ

c1 = 6.055
3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 15

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 9s + 20 = (s + 4)(s + 5)
F(s) = A/(s + 4) + B/(s + 5)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 4) และตั้ง s = −4: พจน์ B หายไป

A = (5s + 35)/(s + 5) |s = −4 = 15/1 = 15

คำตอบ

A = 15
(B = −10 ดังนั้น f(t) = 15·e−4t − 10·e−5t)
4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.2) = 4.967

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แปลงสมการ

(s² + 3s + 2)·Y(s) = 5s + 15 + 8/s
Y(s) = (5s² + 15s + 8)/(s(s + 1)(s + 2))

เศษส่วนย่อย

A = 8/(1·2) = 4
B = −2/((−1)·1) = 2
C = −2/((−2)·(−1)) = −1

ผลลัพธ์

y(t) = 4 + 2·e−t − e−2t
y(0.2) = 4.967

คำตอบ

y(0.2) = 4.967

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 5

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: tp = 0.3658 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 94 → ωₙ = 9.695 rad/s
2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·9.695) = 0.4641

ผลลัพธ์

ωd = 9.695·√(1 − 0.4641²) = 8.588 rad/s → tp = π/ωd = 0.3658 s

คำตอบ

tp = 0.3658 s
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 26.32

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 8s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.02)/√(π² + ln²(0.02)) = 0.7797

อัตราขยาย

ωₙ = 8/(2ζ) = 5.13 rad/s
K = ωₙ² = 26.32

คำตอบ

K = 26.32
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: BW = 79.58 Hz

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1 × 10⁻⁷) = 10000 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1592 Hz

แบนด์วิดท์

BW = R/L = 50/0.1 = 500 rad/s = 79.58 Hz

คำตอบ

BW = 79.58 Hz
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 75.12 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 16ω² − 19.36 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·19.36))/2 = 1.13
ωc = 1.063 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jωc) = −90° − atan(1.063/4) = −104.9°
PM = 180° + ∠L = 75.12°

คำตอบ

PM = 75.12°

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems