สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

สัญญาณ x(t) ไม่เป็นศูนย์เฉพาะระหว่าง t = 1 s และ t = 3 s และ h(t) เฉพาะระหว่าง t = 1 s และ t = 2 s จงหาเวลา t_end ที่ y(t) = x(t) ∗ h(t) สิ้นสุด

x: 1 … 3 sh: 1 … 2 s

t_end = s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

ระบบเป็นไปตาม y[n] = 0.8·y[n − 1] + 0.5·x[n] และเริ่มที่สภาวะพัก อินพุตเป็นขั้นหนึ่งหน่วย x[n] = u[n] จงหา y[4]

y[n] = 0.8y[n − 1] + 0.5x[n]x[n] = u[n]

y[4] =

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (3s + 20)/(s² + 12s + 35) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−5t + B·e^−7t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (3s + 20)/(s² + 12s + 35)

A =

4.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 8y′ + 12y = 24·u(t) โดย y(0) = 1 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 10 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.2)

y″ + 8y′ + 12y = 24·u(t)y(0) = 1y′(0) = 0u(t) = 10t = 0.2 s

y(0.2) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 18.5/(s² + 8s + 37) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 18.5/(s² + 8s + 37)

σ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 62 Ω, L = 50 mH และ C = 4.7 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 5 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาเวลา t_p ของยอดแรงดันครั้งแรก เป็น ms

R = 62 ΩL = 50 mHC = 4.7 µFV = 5 V

t_p = ms

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาขนาดที่แน่นอน |G(jω)| ของ G(s) = 198/((s + 2)(s + 11)) ที่ ω = 30 rad/s ใน dB

G(s) = 198/((s + 2)(s + 11))ω = 30 rad/s

|G(jω)| = dB

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 92/(s(s + 3)(s + 6)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 92/(s(s + 3)(s + 6))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: t_end = 5 s

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

เริ่มต้นและสิ้นสุด

t_start = 1 + 1 = 2 s

t_end = 3 + 2 = 5 s

คำตอบ

t_end = 5 s

คำตอบ

t_end = 5 s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y[4] = 1.681

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

วนซ้ำ

y[0] = 0.5

y[1] = 0.9

y[2] = 1.22

y[3] = 1.476

y[4] = 1.681

ผลลัพธ์

y[4] = 0.5·(1 − (0.8)⁵)/(1 − 0.8) = 1.681

คำตอบ

y[4] = 1.681

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 2.5

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 12s + 35 = (s + 5)(s + 7)

F(s) = A/(s + 5) + B/(s + 7)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 5) และตั้ง s = −5: พจน์ B หายไป

A = (3s + 20)/(s + 7) |_{s = −5} = 5/2 = 2.5

คำตอบ

A = 2.5

(B = 0.5 ดังนั้น f(t) = 2.5·e^−5t + 0.5·e^−7t)

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.2) = 3.757

แปลงสมการ

(s² + 8s + 12)·Y(s) = 1s + 8 + 240/s

Y(s) = (s² + 8s + 240)/(s(s + 2)(s + 6))

เศษส่วนย่อย

A = 240/(2·6) = 20

B = 228/((−2)·4) = −28.5

C = 228/((−6)·(−4)) = 9.5

ผลลัพธ์

y(t) = 20 − 28.5·e^−2t + 9.5·e^−6t

y(0.2) = 3.757

คำตอบ

y(0.2) = 3.757

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 1

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −4

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 37 → ωₙ = 6.083 rad/s

2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·6.083) = 0.6576

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −8/2 = −4

คำตอบ

σ = −4

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 1.597 ms

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·4.7 × 10⁻⁶) = 2063 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (62/2)·√(4.7 × 10⁻⁶/0.05) = 0.3006

ผลลัพธ์

ω_d = 1967 rad/s

t_p = π/ω_d = 1.597 ms

คำตอบ

t_p = 1.597 ms

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |G(jω)| = −13.72 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

คูณขนาด

|G(j30)| = 198/(√(30² + 2²)·√(30² + 11²)) = 198/(30.07·31.95) = 0.2061

ผลลัพธ์

20·log₁₀(0.2061) = −13.72 dB

คำตอบ

|G(jω)| = −13.72 dB

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 4.243 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·6) = 4.243 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 4.243 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems