สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

อินพุต x(t) = 4·e^−5tu(t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e^−1tu(t) จงหาเอาต์พุต y(1.5) ที่ t = 1.5 s

x(t) = 4·e^−5tu(t)h(t) = e^−1tu(t)t = 1.5 s

y(1.5) =

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

อินพุต x(t) = 2·cos(10t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = 2·e^−10tu(t) จงหาเฟส φ ของเอาต์พุตสถานะคงตัวเทียบกับอินพุต ในหน่วยองศา

h(t) = 2e^−10tu(t)x(t) = 2cos(10t)

φ = °

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (2s + 12)/(s² + 2s + 5) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(1.5)

F(s) = (2s + 12)/(s² + 2s + 5)t = 1.5 s

f(1.5) =

4.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 10y′ + 24y = 0 โดย y(0) = 8 และ y′(0) = 5 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.25)

y″ + 10y′ + 24y = 0y(0) = 8y′(0) = 5t = 0.25 s

y(0.25) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 30/(s² + 4s + 15) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 30/(s² + 4s + 15)

σ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 391 Ω, L = 500 mH และ C = 4.7 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 5 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ

R = 391 ΩL = 500 mHC = 4.7 µFV = 5 V

%OS = %

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 16(s + 3)/(s(s + 10)) ที่ ω = 4 rad/s เป็นองศา

G(s) = 16(s + 3)/(s(s + 10))ω = 4 rad/s

∠G(jω) = °

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 600/(s(s + 20)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 600/(s(s + 20))

PM = °

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(1.5) = 0.2226

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

อินทิกรัลคอนโวลูชัน

y(t) = 4e^−1t∫₀ᵗ e^{−(5 − 1)τ} dτ = 4(e^−1t − e^−5t)/(4)

คำนวณค่า

y(1.5) = 4·(0.2231 − 0.0005531)/(4) = 0.2226

คำตอบ

y(1.5) = 0.2226

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: φ = −45 °

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

การตอบสนองเชิงความถี่

H(jω) = 2/(10 + jω)

เฟสที่ความถี่อินพุต

φ = −atan(10/10) = −45°

คำตอบ

φ = −45°

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(1.5) = −0.2844

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 2s + 5 = (s + 1)² + 4 = (s + 1)² + 2²

จับคู่เศษ

F(s) = 2·(s + 1)/((s + 1)² + 2²) + (10/2)·2/((s + 1)² + 2²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−t·(2·cos 2t + 5·sin 2t)

f(1.5) = e^−1.5·(2·cos(2·1.5) + 5·sin(2·1.5)) = −0.2844

คำตอบ

f(1.5) = −0.2844

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.25) = 5.621

แปลงสมการ

s²Y − 8s − 5 + 10(sY − 8) + 24Y = 0

Y(s) = (8s + 85)/((s + 4)(s + 6))

เศษส่วนย่อย

A = 53/2 = 26.5

B = 37/(−2) = −18.5

ผลลัพธ์

y(t) = 26.5·e^−4t − 18.5·e^−6t

y(0.25) = 5.621

คำตอบ

y(0.25) = 5.621

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = 8

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −2

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 15 → ωₙ = 3.873 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·3.873) = 0.5164

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −4/2 = −2

คำตอบ

σ = −2

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 9.513 %

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.5·4.7 × 10⁻⁶) = 652.3 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (391/2)·√(4.7 × 10⁻⁶/0.5) = 0.5994

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 9.513 %

คำตอบ

%OS = 9.513 %

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −58.67 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(4/3) − 90° − atan(4/10) = 53.13° − 90° − 21.8°

ผลลัพธ์

∠G(j4) = −58.67°

คำตอบ

∠G(jω) = −58.67°

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 43.88 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 400ω² − 360000 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·360000))/2 = 432.5

ω_c = 20.8 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(20.8/20) = −136.1°

PM = 180° + ∠L = 43.88°

คำตอบ

PM = 43.88°

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems