สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
ระบบอันดับหนึ่ง: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์: สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง

สัญญาณ x(t) ไม่เป็นศูนย์เฉพาะระหว่าง t = 2 s และ t = 5 s และ h(t) เฉพาะระหว่าง t = 1 s และ t = 2 s จงหาระยะเวลา D ของ y(t) = x(t) ∗ h(t)

x: 2 … 5 sh: 1 … 2 s

D = s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก

คลื่นสามเหลี่ยมขึ้นและลงเป็นเส้นตรงระหว่าง −2 และ +2 ด้วยคาบ T = 10 ms จงหาแอมพลิจูด c₁ ของส่วนประกอบฟูริเยร์ที่ 100 Hz

±2T = 10 msf = 100 Hz

c₁ =

3.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 60/(s(s + 4)(s + 5)) ด้วยเศษส่วนย่อย และหาค่า f(0.1)

F(s) = 60/(s(s + 4)(s + 5))t = 0.1 s

f(0.1) =

4.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 3y′ + 2y = 0 โดย y(0) = 1 และ y′(0) = −10 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.5)

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = −10t = 0.5 s

y(0.5) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 94/(s² + 12s + 94) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 94/(s² + 12s + 94)

t_s = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

มวล m = 5 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 400 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 36 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 50 N กะทันหัน จงหาการกระจัดสูงสุด x_max เป็น mm

m = 5 kgk = 400 N/mc = 36 N·s/mF = 50 N

x_max = mm

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RCที่แสดงมีR = 47 kΩ, C = 100 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 170 Hz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 47 kΩC = 100 nFf = 170 Hz

φ = °

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 434/(s(s + 6)(s + 7)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 434/(s(s + 6)(s + 7))

GM = dB

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: D = 4 s

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e^−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at)

เริ่มต้นและสิ้นสุด

t_start = 2 + 1 = 3 s

t_end = 5 + 2 = 7 s

คำตอบ

D = 4 s

คำตอบ

D = 4 s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: c₁ = 1.621

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e^−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

ลำดับฮาร์มอนิก

f₀ = 1/T = 100 Hz → k = 1

แอมพลิจูด

c₁ = 8·2/(π²·1²) = 1.621

คำตอบ

c₁ = 1.621

3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.1) = 0.2236

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

เศษส่วนย่อย

F(s) = A/s + B/(s + 4) + C/(s + 5)

A = 60/(4·5) = 3

B = 60/((−4)·1) = −15

C = 60/((−5)·(−1)) = 12

การแปลงผกผัน

f(t) = 3 − 15·e^−4t + 12·e^−5t

คำนวณค่า

f(0.1) = 3 − 15·e^−4·0.1 + 12·e^−5·0.1 = 0.2236

คำตอบ

f(0.1) = 0.2236

4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.5) = −1.541

แปลงสมการ

s²Y − 1s − (−10) + 3(sY − 1) + 2Y = 0

Y(s) = (s − 7)/((s + 1)(s + 2))

เศษส่วนย่อย

A = −8/1 = −8

B = −9/(−1) = 9

ผลลัพธ์

y(t) = −8·e^−t + 9·e^−2t

y(0.5) = −1.541

คำตอบ

y(0.5) = −1.541

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = 1

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 0.6667 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 94 → ωₙ = 9.695 rad/s

2ζωₙ = 12 → ζ = 12/(2·9.695) = 0.6189

ผลลัพธ์

ζωₙ = 6 → t_s ≈ 4/6 = 0.6667 s

คำตอบ

t_s = 0.6667 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: x_max = 156.4 mm

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(400/5) = 8.944 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 36/(2·√(400·5)) = 0.4025

ผลลัพธ์

x_st = F/k = 50/400 m = 125 mm

%OS = 25.13 %

x_max = 125·(1 + 0.2513) = 156.4 mm

คำตอบ

x_max = 156.4 mm

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = −78.73 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·1 × 10⁻⁷) = 212.8 rad/s

f_c = 33.86 Hz → f/f_c = 170/33.86 = 5.02

เฟส

φ = − atan(5.02) = −78.73°

คำตอบ

φ = −78.73°

8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 1.994 dB

จุดตัดเฟส

(ω/6)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·7) = 6.481 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 49)) = K/(6·7·(6 + 7)) = K/546

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(546/434) = 1.994 dB

คำตอบ

GM = 1.994 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems