สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
ระบบอันดับหนึ่ง
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์
สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

  1. ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
  2. กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
  3. คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
  4. ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง
x(t)t34h(t)t43

พัลส์ x(t) = 4 สำหรับ 0 ≤ t < 3 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) ถูกป้อนเข้าระบบที่มีการตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) = 3 สำหรับ 0 ≤ t < 4 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) จงหาเอาต์พุต y(3.5) ที่ t = 3.5 s

x(t) = 4, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 4 st = 3.5 s
y(3.5) =
2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก
x(t)t (ms)420403

ขบวนพัลส์มีความสูง 3 ความกว้างพัลส์ 4 ms และคาบ 20 ms จงหาแอมพลิจูด c3 ของฮาร์มอนิกลำดับที่ 3 ที่ 150 Hz

A = 3τ = 4 msT = 20 ms
c3 =
3.การแปลงลาปลาซปานกลาง
ReIm−1−2−3−4−5−61

F(s) = (5s + 12)/(s² + 10s + 24) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e−4t + B·e−6t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (5s + 12)/(s² + 10s + 24)
A =
4.การแปลงลาปลาซยาก
t (s)y(t)t = 0.3y(0.3) = ?

ระบบเป็นไปตาม y″ + 9y′ + 20y = 120·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 5 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(0.3)

y″ + 9y′ + 20y = 120·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.3 s
y(0.3) =
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)3

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 51/(s² + 4s + 17) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาความถี่ธรรมชาติ ωn เป็น rad/s

G(s) = 51/(s² + 4s + 17)
ωn = rad/s
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
R(s)+125s(s + 6)G(s)C(s)−

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 125/(s(s + 6)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ ts ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 125/(s(s + 6))
ts = s
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​R = 470 ΩL = 1 mHvout​

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 470 Ω, L = 1 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 220 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |vout/vin| ใน dB

R = 470 ΩL = 1 mHf = 220 kHz
|H| = dB
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 9/(s(s + 1)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ωc ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 9/(s(s + 1))
ωc = rad/s

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(3.5) = 36

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e−at)

การซ้อนทับของพัลส์ที่กลับแล้ว

h(t − τ) คือพัลส์ของ h ที่กลับและเลื่อนให้สิ้นสุดที่ τ = t

τ ∈ [0, 3] → ความยาว 3 s

อินทิกรัล

y(3.5) = 4·3·3 = 36

คำตอบ

y(3.5) = 36

y(t) เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู: ขึ้นจาก 0 คงที่ที่ 36 และลดกลับเป็น 0 ที่ t = 7 s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: c3 = 0.6055

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

วัฏจักรหน้าที่

D = 4/20 = 0.2

แอมพลิจูดของฮาร์มอนิก

c3 = (2·3/(3π))·|sin(3π·0.2)| = 0.6055

คำตอบ

c3 = 0.6055
3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = −4

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 10s + 24 = (s + 4)(s + 6)
F(s) = A/(s + 4) + B/(s + 6)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 4) และตั้ง s = −4: พจน์ B หายไป

A = (5s + 12)/(s + 6) |s = −4 = −8/2 = −4

คำตอบ

A = −4
(B = 9 ดังนั้น f(t) = −4·e−4t + 9·e−6t)
4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.3) = 11.6

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แปลงสมการ

Y(s) = 600/(s(s + 4)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 600/(4·5) = 30
B = 600/((−4)·1) = −150
C = 600/((−5)·(−1)) = 120

สารน้ำออก

y(t) = 30 − 150·e−4t + 120·e−5t
y(0.3) = 11.6

คำตอบ

y(0.3) = 11.6
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ωn = 4.123 rad/s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 17 → ωₙ = 4.123 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·4.123) = 0.4851

ผลลัพธ์

ωₙ = 4.123 rad/s

คำตอบ

ωn = 4.123 rad/s
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ts = 1.333 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 125/(s² + 6s + 125): ωₙ = 11.18 rad/s, ζ = 0.2683

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 6/2 = 3
ts ≈ 4/(ζωₙ) = 1.333 s

คำตอบ

ts = 1.333 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −0.4751 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ωc = R/L = 470/0.001 = 470000 rad/s
fc = 74803 Hz → f/fc = 220000/74803 = 2.941

อัตราขยาย

|H| = 2.941/√(1 + 2.941²) = 0.9468
20·log₁₀(0.9468) = −0.4751 dB

คำตอบ

|H| = −0.4751 dB
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ωc = 2.918 rad/s

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 1ω² − 81 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·81))/2 = 8.514
ωc = 2.918 rad/s

คำตอบ

ωc = 2.918 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems