สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ comp_b a ของ a = (0, −3, 7) บน b = (−5, −6, 6) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (0, −3, 7)b = (−5, −6, 6)

comp_b a =

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n̂ ตั้งฉากกับทั้ง a = (1, −5, −1) และ b = (−1, 2, 2) และมีองค์ประกอบ z เป็นบวก จงหาองค์ประกอบ y ซึ่งคือ n̂_y ของมัน

a = (1, −5, −1)b = (−1, 2, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 5 mP₁ = 35 kN ที่ 1 mP₂ = 10 kN ที่ 2.5 m

R_B = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 6 mP = 55 kN ที่ 1 mw = 12 kN/m จาก 3 ถึง 6 m

R_A = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 7 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 45 kN

F_AB = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 10 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 20 kN ←

F_AC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

ในที่หนีบแบบทอกเกิลที่แสดง ลิงก์เท่ากันสองอัน AB และ BC ต่อด้วยหมุดที่ B และแต่ละอันทำมุม 12° กับเส้น AC แรงลงล่าง 500 N กระทำที่ B ตัวเลื่อน C กดชิ้นงาน ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานและน้ำหนัก จงหาแรงหนีบแนวนอน Q

F = 500 Nθ = 12°

Q = N

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

บูมสม่ำเสมอแนวนอน AB น้ำหนัก 2 kN ต่อด้วยหมุดกับผนังที่ A และถูกยึดด้วยสายเคเบิลจากปลาย B ไปยังจุด C บนผนังซึ่งสูงกว่า A 2 m โหลด 5 kN แขวนที่ B จงหาแรงตึง T ในสายเคเบิล

W = 5 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 2 m

T = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 2 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 40 kN ที่ 2 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 100 mm × 150 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 52.5 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 200 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 40 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 300 mmช่องตัด: 40 × 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: comp_b a = 6.092

ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = 0·(−5) + (−3)·(−6) + 7·6 = 60

ความยาวของ b

|b| = √((−5)² + (−6)² + 6²) = 9.849

โพรเจกชันสเกลาร์

comp_b a = a·b/|b| = 60/9.849 = 6.092

คำตอบ

comp_b a = 6.092

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: n̂_y = 0.1162

ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M_O = r × F โดย r = A − O

ผลคูณไขว้

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·2 − (−1)·2 = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−1) − 1·2 = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·2 − (−5)·(−1) = −3

ทำให้เป็นหนึ่งหน่วย

องค์ประกอบ z ของ a × b เป็นลบ จึงใช้ −(a × b)

|a × b| = √((−8)² + (−1)² + (−3)²) = 8.602

n̂ = −(−8, −1, −3)/8.602 = (0.93, 0.1162, 0.3487)

n̂_y = 0.1162

คำตอบ

n̂_y = 0.1162

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 12 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 10·2.5

R_B = 60/5 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 12 = 33 kN

คำตอบ

R_B = 12 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 54.83 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN กระทำที่ x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1 + 12·3·4.5

R_B = 217/6 = 36.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 91 − 36.17 = 54.83 kN

คำตอบ

R_A = 54.83 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −11.34 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·7 → C_y = 39.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 39.38 = 5.625 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 4/8.062 = 0.4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5.625/0.4961 = −11.34 kN

คำตอบ

F_AB = −11.34 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AC = −1.25 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 − 20·2 → C_y = −2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −2.5 = 12.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−2.5/0.8944 = 2.795 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(2.795)·0.4472 = −1.25 kN

คำตอบ

F_AC = −1.25 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: Q = 1176 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ F_in·a = F_out·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

สมดุลของหมุด B

2·F_link·sin 12° = 500

F_link = 1202 N

แรงหนีบ

Q = F_link·cos 12° = 500/(2·tan 12°) = 1176 N

คำตอบ

Q = 1176 N

อัตราส่วนแรง Q/F = 2.352 เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดเมื่อลิงก์ตรงขึ้น

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 8.485 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

มุมของสายเคเบิล

BC = √(2² + 2²) = 2.828 m, sin β = 0.7071

โมเมนต์รอบจุด A

T·0.7071·2 = 5·2 + 2·1

T = 8.485 kN

คำตอบ

T = 8.485 kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 58 kN, R₂ = 38 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 104 kN·m, M_D = 87, M_E = 64, M_F = 35, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: M_C = 104 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 78 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2 + 3·8·4

R_B = 176/8 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 22 = 42 kN

ตัดที่ x = 2 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 42·2 − 3·2·1 = 78 kN·m

คำตอบ

M_x = 78 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 27.71 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (15000·75 − 706.9·52.5)/(15000 − 706.9) = 76.11 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·150³/12 + 15000·−1.113² = 28.14 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−23.61² = 0.4339 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 27.71 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 27.71 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

เซนทรอยด์

ȳ = (60000·150 − 1600·105)/(60000 − 1600) = 151.2 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.233² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

40·40³/12 + 1600·−46.23² = 3.633 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics