สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−3, 4, 2) และ b = (−2, −3, 1) ในหน่วยองศา

a = (−3, 4, 2)b = (−2, −3, 1)

θ = °

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

สำหรับ a = (3, 2, −3) และ b = (−1, −4, −4) จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ (a × b)_x ของผลคูณไขว้ a × b

a = (3, 2, −3)b = (−1, −4, −4)

(a × b)_x =

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 5 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_B โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 50 kN ที่ 4 mP₂ = 60 kN ที่ 8 m

R_B = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานประกอบยึดแน่นกับผนังที่ A มีบานพับภายในที่ C (ห่างจาก A 4 m) และวางบนลูกกลิ้งที่ D (ห่างจาก A 8 m) รับ แรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 5 m จาก A และแรงกระทำเป็นจุด Q ที่ระยะ 3 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยา R_D ที่ลูกกลิ้ง

AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN ที่ 5 mQ = 40 kN ที่ 3 m

R_D = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 40 kN

F_AB = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 4 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 20 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 15 kN →

F_BC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 3 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 4 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 1 m โหลด 10 kN กระทำที่ C จงหาขนาดของแรง C ที่หมุด C กระทำต่อขา BC

P = 10 kNAB = 3 mความสูงของ C = 4 mความสูงของ DE = 1 m

C = kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 4 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 4 m และถูกผูกด้วยแท่งแนวนอน DE ที่ 2 m แรงแนวนอน 2 kN ไปทางขวากระทำที่ C จงหาแรงดึง T ในเส้นยึด

P = 2 kNAB = 4 mความสูงของ C = 4 mความสูงของ DE = 2 m

T = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาแรงเฉือน V_x ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 0.5 m

V_x = kN

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

50 kN @ 0 m55 kN @ 12 m30 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 180 mm หนา 24 mm ความลึกรวม 240 mm และเอวหนา 10 mm จงหาโมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่น S_x สำหรับการดัดรอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 180 mmH = 240 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 20 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σ_บน ที่ขอบบน

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_บน = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 101.5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุด

a·b = (−3)·(−2) + 4·(−3) + 2·1 = −4

ขนาด

|a| = √((−3)² + 4² + 2²) = 5.385

|b| = √((−2)² + (−3)² + 1²) = 3.742

มุม

cos θ = −4/(5.385·3.742) = −0.1985

θ = arccos(−0.1985) = 101.5°

คำตอบ

θ = 101.5°

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)_x = −20

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−4) − (−3)·(−4) = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−1) − 3·(−4) = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−4) − 2·(−1) = −10

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)_x = −20

คำตอบ

(a × b)_x = −20

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 136 kN

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 60·8

R_B = 680/5 = 136 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 50 + 60 − 136 = −26 kN

คำตอบ

R_B = 136 kN

R_A เป็นลบ: หมุดที่ A ต้องรั้งคานลง

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_D = 6.25 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ บานพับภายในรับโมเมนต์ดัดไม่ได้ ซึ่งให้สมการเพิ่มหนึ่งสมการ: โมเมนต์รอบบานพับของแรงทั้งสองข้างเป็นศูนย์

ส่วน CD

บานพับไม่มีโมเมนต์ ดังนั้นโมเมนต์รอบ C บน CD เพียงส่วนเดียวต้องสมดุล

ΣM_C = 0: R_D·4 = 25·1

R_D = 6.25 kN

V_C = 25 − 6.25 = 18.75 kN

คำตอบ

R_D = 6.25 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −36.89 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 5 = 35 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −35/0.9487 = −36.89 kN

คำตอบ

F_AB = −36.89 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −24.6 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 + 15·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 22 = −2 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22/0.8944 = −24.6 kN

คำตอบ

F_BC = −24.6 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: C = 5.59 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงในเส้นยึดจากขา BC

B_y = 5 kN

T = 5·1.5/3 = 2.5 kN

องค์ประกอบของแรงที่หมุดบน BC

C_x = T = 2.5 kN, C_y = −B_y = −5 kN

ขนาด

C = √(2.5² + 5²) = 5.59 kN

คำตอบ

C = 5.59 kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 2 kN

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

B_y·4 = 2·4

B_y = 2 kN

ขา BC: โมเมนต์รอบ C

2·2 = T·2

T = 2 kN

คำตอบ

T = 2 kN

T ที่เป็นบวกหมายความว่าเส้นยึดอยู่ในแรงดึงตามที่สมมติไว้

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: V_x = 13.5 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

ตัดที่ x = 0.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = R_A − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)

V_x = 15 − 3·0.5 = 13.5 kN

คำตอบ

V_x = 13.5 kN

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 70 kN, R₂ = 125 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −80, M_D = −100, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = −220 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: S_x = 892.4 × 10³ mm³

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 240 − 2·24 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·240³ − 170·192³)/12

I_x = 1.071 × 10⁸ mm⁴

มอดูลัสหน้าตัด

c = H/2 = 120 mm

S_x = I/c = 1.071 × 10⁸/120

S_x = 892416 mm³ = 892.4 × 10³ mm³

คำตอบ

S_x = 892.4 × 10³ mm³

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_บน = 42.28 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

เอว: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·210 + 2400·100)/6000 = 166 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·20³/12 + 3600·(210 − 166)² = 7.09 × 10⁶ mm⁴

เอว: 12·200³/12 + 2400·(100 − 166)² = 1.845 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.09 × 10⁶ + 1.845 × 10⁷ = 2.554 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 220 − 166 = 54 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·54/2.554 × 10⁷ = 42.28 MPa

คำตอบ

σ_บน = 42.28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics