สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−3, −5, 1) และ b = (−3, −1, 4) ในหน่วยองศา

a = (−3, −5, 1)b = (−3, −1, 4)

θ = °

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

แรง F = (−40, 30, 40) N กระทำที่จุด A(2, −4, 2) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหาองค์ประกอบ z ซึ่งคือ M_z ของโมเมนต์ของแรงรอบ จุดกำเนิด O(0, 0, 0)

F = (−40, 30, 40) NA(2, −4, 2) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 5 mP₁ = 60 kN ที่ 3 mP₂ = 40 kN ที่ 3.5 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

L = 5 mP = 25 kN ที่ 4 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 5 m

R_A = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 4 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 30 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 5 kN ←

F_BC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

ในที่หนีบแบบทอกเกิลที่แสดง ลิงก์เท่ากันสองอัน AB และ BC ต่อด้วยหมุดที่ B และแต่ละอันทำมุม 15° กับเส้น AC แรงลงล่าง 500 N กระทำที่ B ตัวเลื่อน C กดชิ้นงาน ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานและน้ำหนัก จงหาแรงหนีบแนวนอน Q

F = 500 Nθ = 15°

Q = N

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 2 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 2.4 m และถูกผูกด้วยแท่งแนวนอน DE ที่ 0.6 m แรงแนวนอน 5 kN ไปทางขวากระทำที่ C จงหาแรงดึง T ในเส้นยึด

P = 5 kNAB = 2 mความสูงของ C = 2.4 mความสูงของ DE = 0.6 m

T = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 7.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 7.5 m

M_x = kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาระยะ x_c จาก A ถึงจุดเปลี่ยนโมเมนต์ระหว่างจุดรองรับ (ที่โมเมนต์ดัดเปลี่ยนเครื่องหมาย)

L = 9.5 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 9.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m

x_c = m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 100 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 50 mm สูง 30 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 52.5 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 150 mmช่องตัด: 50 × 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 53.37 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุด

a·b = (−3)·(−3) + (−5)·(−1) + 1·4 = 18

ขนาด

|a| = √((−3)² + (−5)² + 1²) = 5.916

|b| = √((−3)² + (−1)² + 4²) = 5.099

มุม

cos θ = 18/(5.916·5.099) = 0.5967

θ = arccos(0.5967) = 53.37°

คำตอบ

θ = 53.37°

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: M_z = −100 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

เวกเตอร์ตำแหน่งจาก O ไป A

r = A − O = (2, −4, 2) − (0, 0, 0) = (2, −4, 2) m

โมเมนต์ M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·40 − 2·30 = −220 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·(−40) − 2·40 = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·30 − (−4)·(−40) = −100 N·m

องค์ประกอบที่ถาม

M_z = −100 N·m

คำตอบ

M_z = −100 N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 36 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 40·3.5

R_B = 320/5 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 64 = 36 kN

คำตอบ

R_A = 36 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 20 kN

แผนภาพวัตถุอิสระ

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 6·5·2.5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 35 = 20 kN

คำตอบ

R_A = 20 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 56.57 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 14.14 kN (T), HC: 14.14 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −25.93 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 − 5·2 → C_y = 18.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 18.33 = 11.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.33/0.7071 = −25.93 kN

คำตอบ

F_BC = −25.93 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: Q = 933 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ F_in·a = F_out·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

สมดุลของหมุด B

2·F_link·sin 15° = 500

F_link = 965.9 N

แรงหนีบ

Q = F_link·cos 15° = 500/(2·tan 15°) = 933 N

คำตอบ

Q = 933 N

อัตราส่วนแรง Q/F = 1.866 เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดเมื่อลิงก์ตรงขึ้น

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 3.333 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

B_y·2 = 5·2.4

B_y = 6 kN

ขา BC: โมเมนต์รอบ C

6·1 = T·1.8

T = 3.333 kN

คำตอบ

T = 3.333 kN

T ที่เป็นบวกหมายความว่าเส้นยึดอยู่ในแรงดึงตามที่สมมติไว้

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 56.25 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

ตัดที่ x = 7.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 30·7.5 − 6·7.5·3.75 = 56.25 kN·m

คำตอบ

M_x = 56.25 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: x_c = 7.719 m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·9.5 = 28.5 kN กระทำที่ x̄ = 4.75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9.5·4.75

R_B = 135.4/8 = 16.92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28.5 − 16.92 = 11.58 kN

โมเมนต์เป็นศูนย์

ระหว่างจุดรองรับ M(x) = R_A·x − w·x²/2 นอกจาก x = 0 แล้ว โมเมนต์เป็นศูนย์ที่ x = 2R_A/w

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11.58/3 = 7.719 m

คำตอบ

x_c = 7.719 m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 4.547 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

เอว: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·105 + 2000·50)/3800 = 76.05 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·10³/12 + 1800·(105 − 76.05)² = 1.523 × 10⁶ mm⁴

เอว: 20·100³/12 + 2000·(50 − 76.05)² = 3.024 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.523 × 10⁶ + 3.024 × 10⁶ = 4.547 × 10⁶ mm⁴ = 4.547 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 4.547 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 27.17 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (15000·75 − 1500·52.5)/(15000 − 1500) = 77.5 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·150³/12 + 15000·−2.5² = 28.22 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

50·30³/12 + 1500·−25² = 1.05 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 27.17 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 27.17 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics