สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง
แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด
เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด
F = √(Fx² + Fy²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล
Fin·a = Fout·b
ทอกเกิล
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

  1. วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
  2. หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
  3. แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
  4. สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzdFAB

แรงคงที่ F = (15, 5, −10) N กระทำต่อวัตถุขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุด A(4, 2, 0) ไปยังจุด B(−2, −3, −4) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหางาน W ที่แรงทำ

F = (15, 5, −10) NA(4, 2, 0) mB(−2, −3, −4) m
W = J
2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzABC

จงหาพื้นที่ A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A(0, 0, −2), B(1, 0, 4) และ C(4, 4, −1) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร

A(0, 0, −2)B(1, 0, 4)C(4, 4, −1)
A = m²
3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA

L = 4 mP1 = 10 kN ที่ 1 mP2 = 50 kN ที่ 3 m
RA = kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w = 4 kN/mP = 10 kNABCRB​ = ?0.5 m1.5 m1 m1 m

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 3 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 0.5 m จาก A และแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w จาก 2 m ถึงปลายอิสระที่ 4 m จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RB โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 3 mAC = 4 mP = 10 kN ที่ 0.5 mw = 4 kN/m จาก 2 ถึง 4 m
RB = kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABCDEFGH10 kN10 kN30 kN4 × 4 m3 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABBCACACB60 kN30 kN8 m6 m2 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 6 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 60 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 30 kN ←
FAB = kN
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง
400 NQ = ?8°ABC

ในที่หนีบแบบทอกเกิลที่แสดง ลิงก์เท่ากันสองอัน AB และ BC ต่อด้วยหมุดที่ B และแต่ละอันทำมุม 8° กับเส้น AC แรงลงล่าง 400 N กระทำที่ B ตัวเลื่อน C กดชิ้นงาน ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานและน้ำหนัก จงหาแรงหนีบแนวนอน Q

F = 400 Nθ = 8°
Q = N
8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก
6 kN3 m1.2 m0.8 m0.375 mABCDEK

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 3 m โดยหมุดยอด C สูง 2 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 1.2 m โหลดแนวดิ่ง 6 kN กระทำบนขา AC ที่ K ซึ่งห่างจาก A 0.375 m (ในแนวนอน) จงหาขนาดของแรง C ที่หมุด C กระทำต่อขา BC

P = 6 kNAB = 3 mความสูงของ C = 2 mความสูงของ DE = 1.2 mระยะแนวนอนจาก A ถึง K = 0.375 m
C = kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
45 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 1 m60 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 3 kN/mP = 10 kNAB7 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 8 mP = 10 kN ที่ 7 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 8 m
Mmax = kN·m
11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
1802518014xขนาดเป็น mm

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
120 mm150 mm60 mm50 × 50xIx​ = ?

แผ่น 120 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 50 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 120 mmh = 150 mmช่องตัด: 50 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: W = −75 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

การกระจัด

d = B − A = (−2, −3, −4) − (4, 2, 0) = (−6, −5, −4) m

งาน

W = F·d = 15·(−6) + 5·(−5) + (−10)·(−4) = −75 J

คำตอบ

W = −75 J

งานเป็นลบ: แรงส่วนใหญ่กระทำสวนทางกับการเคลื่อนที่

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: A = 16.74 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

เวกเตอร์ขอบ

AB = B − A = (1, 0, 6)
AC = C − A = (4, 4, 1)

ผลคูณไขว้

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 0·1 − 6·4 = −24
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 6·4 − 1·1 = 23
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 1·4 − 0·4 = 4
|AB × AC| = √((−24)² + 23² + 4²) = 33.48

พื้นที่ของสามเหลี่ยม

A = ½·33.48 = 16.74 m²

คำตอบ

A = 16.74 m²
3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 20 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 50·3
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 40 = 20 kN

คำตอบ

RA = 20 kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 9.667 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 4·2 = 8 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·3 = 10·0.5 + 8·3
RB = 29/3 = 9.667 kN
RA = 18 − 9.667 = 8.333 kN

คำตอบ

RB = 9.667 kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 26.67 kN (T), DE: 26.67 kN (T), FG: 53.33 kN (C), GH: 53.33 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 33.33 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 16.67 kN (T), HC: 33.33 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAB = −71.15 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·6 − 30·2 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/6.325 = 0.3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22.5/0.3162 = −71.15 kN

คำตอบ

FAB = −71.15 kN (แรงอัด)
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: Q = 1423 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ Fin·a = Fout·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

สมดุลของหมุด B

2·Flink·sin 8° = 400
Flink = 1437 N

แรงหนีบ

Q = Flink·cos 8° = 400/(2·tan 8°) = 1423 N

คำตอบ

Q = 1423 N

อัตราส่วนแรง Q/F = 3.558 เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดเมื่อลิงก์ตรงขึ้น

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: C = 1.594 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ B

By = 6·0.375/3 = 0.75 kN

แรงในเส้นยึด

T = 0.75·1.5/0.8 = 1.406 kN

แรงที่หมุดบน BC

Cx = 1.406 kN, Cy = −0.75 kN
C = √(1.406² + 0.75²) = 1.594 kN

คำตอบ

C = 1.594 kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: D (x = 3 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 67.5 kN, R2 = 37.5 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 67.5, MC = 90, MD = 112.5 kN·m, ME = 75, MF = 37.5, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย D: MD = 112.5 kN·m
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 29.26 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·7 + 3·8·4
RB = 166/8 = 20.75 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 20.75 = 13.25 kN

V = 0 ที่ใด

RA − w·x0 = 0 → x0 = 13.25/3 = 4.417 m

โมเมนต์สูงสุด

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 13.25·4.417 − 3·4.417²/2 = 29.26 kN·m

คำตอบ

Mmax = 29.26 kN·m

เกิดที่ x = 4.417 m จาก A

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 24.01 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192.5 mm
เอว: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·192.5 + 2520·90)/7020 = 155.7 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·25³/12 + 4500·(192.5 − 155.7)² = 6.327 × 10⁶ mm⁴
เอว: 14·180³/12 + 2520·(90 − 155.7)² = 1.768 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.327 × 10⁶ + 1.768 × 10⁷ = 2.401 × 10⁷ mm⁴ = 24.01 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 24.01 × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 32.58 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (18000·75 − 2500·60)/(18000 − 2500) = 77.42 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

120·150³/12 + 18000·−2.419² = 33.86 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

50·50³/12 + 2500·−17.42² = 1.279 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 32.58 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 32.58 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics