สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาโพรเจกชันสเกลาร์ comp_b a ของ a = (3, −6, −4) บน b = (2, 2, −4) คือองค์ประกอบของ a ในทิศของ b

a = (3, −6, −4)b = (2, 2, −4)

comp_b a =

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n̂ ตั้งฉากกับทั้ง a = (3, −1, 5) และ b = (−1, 4, 5) และมีองค์ประกอบ z เป็นบวก จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ n̂_x ของมัน

a = (3, −1, 5)b = (−1, 4, 5)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 5 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

L = 10 mP = 35 kN ที่ 6 mM = 40 kN·m (ตามเข็มนาฬิกา) ที่ 5 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 8 mP = 25 kN ที่ 5 mw = 10 kN/m จาก 4 ถึง 6 m

R_B = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 55 kN

F_BC = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

C: 30 kN ↓D: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓H: 35 kN ←

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

คาน AB แนวนอนต่อด้วยหมุดกับผนังที่ A และถูกค้ำด้วยค้ำยัน CD ซึ่งต่อด้วยหมุดกับผนังที่ C ต่ำกว่า A เป็นระยะ 1.5 m โหลด 15 kN แขวนที่ B ไม่คิดน้ำหนัก จงหาขนาดของแรงที่หมุด A บนคานที่ A

P = 15 kNAD = 1 mAB = 1.5 mAC = 1.5 m

A = kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงข้อแข็งที่แสดงมีหมุดที่ A, B และ C โดย A และ C ยึดกับพื้นห่างกัน 3 m และ B สูง 2.5 m และอยู่ทางขวาของ A 1.8 m ชิ้นส่วน AB รับโหลดแนวดิ่ง 6 kN ที่ K ซึ่งห่างจาก A 0.9 m (ในแนวนอน) และโหลดแนวนอน 2 kN ไปทางขวากระทำที่ B บนชิ้นส่วน AB จงหาขนาดของปฏิกิริยาแนวนอน A_x ที่ A

P = 6 kNQ = 2 kNL = 3 mH = 2.5 mระยะแนวนอนจาก A ถึง B = 1.8 mระยะแนวนอนจาก A ถึง K = 0.9 m

A_x = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 8 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 2 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 60 kN ที่ 6 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 15 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_ล่าง = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: comp_b a = 2.041

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุด

a·b = 3·2 + (−6)·2 + (−4)·(−4) = 10

ความยาวของ b

|b| = √(2² + 2² + (−4)²) = 4.899

โพรเจกชันสเกลาร์

comp_b a = a·b/|b| = 10/4.899 = 2.041

คำตอบ

comp_b a = 2.041

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: n̂_x = −0.7385

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·5 − 5·4 = −25

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−1) − 3·5 = −20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·4 − (−1)·(−1) = 11

ทำให้เป็นหนึ่งหน่วย

องค์ประกอบ z ของ a × b เป็นบวกอยู่แล้ว

|a × b| = √((−25)² + (−20)² + 11²) = 33.85

n̂ = (−25, −20, 11)/33.85 = (−0.7385, −0.5908, 0.3249)

n̂_x = −0.7385

คำตอบ

n̂_x = −0.7385

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 10 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: R_B·10 − 35·6 − 40 = 0

R_B = 250/10 = 25 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = 35 − 25 = 10 kN

คำตอบ

R_A = 10 kN

แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 28.13 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 10·2·5

R_B = 225/8 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28.13 = 16.88 kN

คำตอบ

R_B = 28.13 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −24.68 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 → C_y = 9.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 9.167 = 45.83 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9.167/0.3714 = −24.68 kN

คำตอบ

F_BC = −24.68 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 20 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 110 kN (C), GH: 110 kN (C), AF: 77.78 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 77.78 kN (T), HC: 21.21 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: A = 16.77 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงในค้ำยัน

F_CD = 15·1.5/(0.8321·1) = 27.04 kN

องค์ประกอบที่ A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (ไปทางผนัง)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −7.5 kN

ขนาด

A = √(15² + −7.5²) = 16.77 kN

คำตอบ

A = 16.77 kN

A_y ที่เป็นลบหมายความว่าผนังดึงคานลงที่ A

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: A_x = 0.336 kN

ทิศทางของ BC

BC = 2.773 m, cos = 0.4327, sin = 0.9015

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

F_BC·0.9015·3 = 6·0.9 + 2·2.5

F_BC = 3.845 kN

สมดุลแนวนอน

A_x + 2 − 3.845·0.4327 = 0

A_x = −0.336 kN → |A_x| = 0.336 kN

คำตอบ

A_x = 0.336 kN

เครื่องหมายลบหมายความว่า A_x ชี้ไปทางซ้าย

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 55 kN, R₂ = 65 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 98, M_C = 172, M_D = 222, M_E = 248 kN·m, M_F = 130, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = 248 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 54 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·6 + 4·8·4

R_B = 488/8 = 61 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 61 = 31 kN

ตัดที่ x = 2 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 31·2 − 4·2·1 = 54 kN·m

คำตอบ

M_x = 54 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 95.92 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

เอว: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 5400·150)/9000 = 214 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·20³/12 + 3600·(310 − 214)² = 3.33 × 10⁷ mm⁴

เอว: 18·300³/12 + 5400·(150 − 214)² = 6.262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.33 × 10⁷ + 6.262 × 10⁷ = 9.592 × 10⁷ mm⁴ = 95.92 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 95.92 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 137.4 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

เอว: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·132.5 + 2400·60)/8400 = 111.8 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 240·25³/12 + 6000·(132.5 − 111.8)² = 2.887 × 10⁶ mm⁴

เอว: 20·120³/12 + 2400·(60 − 111.8)² = 9.316 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.887 × 10⁶ + 9.316 × 10⁶ = 1.22 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 111.8 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·111.8/1.22 × 10⁷ = 137.4 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 137.4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics