สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาผลคูณจุด a·b ของ a = (−2, −2, −6) และ b = (1, −7, −5)

a = (−2, −2, −6)b = (1, −7, −5)

a·b =

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

จงหาพื้นที่ A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A(4, 0, 0), B(1, −3, 0) และ C(−3, −3, −4) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร

A(4, 0, 0)B(1, −3, 0)C(−3, −3, −4)

A = m²

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 6 mP₁ = 50 kN ที่ 4.5 mP₂ = 10 kN ที่ 5 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งเป็นศูนย์ที่ผนังและเพิ่มขึ้นเป็น 12 kN/m ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

L = 10 mw₀ = 12 kN/mP = 55 kN ที่ 6 m

M_A = kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 35 kN

F_AB = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 15 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 25 kN →

F_BC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 2.4 m โดยหมุดยอด C สูง 2.4 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 0.6 m โหลดแนวดิ่ง 4 kN กระทำบนขา AC ที่ K ซึ่งห่างจาก A 0.48 m (ในแนวนอน) จงหาแรงดึง T ในเส้นยึด

P = 4 kNAB = 2.4 mความสูงของ C = 2.4 mความสูงของ DE = 0.6 mระยะแนวนอนจาก A ถึง K = 0.48 m

T = kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 3.2 m โดยหมุดยอด C สูง 2.5 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 0.8 m โหลดแนวดิ่ง 2 kN กระทำบนขา AC ที่ K ซึ่งห่างจาก A 1.2 m (ในแนวนอน) จงหาขนาดของแรง C ที่หมุด C กระทำต่อขา BC

P = 2 kNAB = 3.2 mความสูงของ C = 2.5 mความสูงของ DE = 0.8 mระยะแนวนอนจาก A ถึง K = 1.2 m

C = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 5.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 30 kN ที่ 2 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 200 mm × 300 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 10 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σ_บน ที่ขอบบน

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_บน = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: a·b = 42

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวก

a·b = (−2)·1 + (−2)·(−7) + (−6)·(−5) = (−2) + 14 + 30 = 42

คำตอบ

a·b = 42

เป็นบวก: มุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่า 90°

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: A = 10.39 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

เวกเตอร์ขอบ

AB = B − A = (−3, −3, 0)

AC = C − A = (−7, −3, −4)

ผลคูณไขว้

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·(−4) − 0·(−3) = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−7) − (−3)·(−4) = −12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−3) − (−3)·(−7) = −12

|AB × AC| = √(12² + (−12)² + (−12)²) = 20.78

พื้นที่ของสามเหลี่ยม

A = ½·20.78 = 10.39 m²

คำตอบ

A = 10.39 m²

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 14.17 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4.5 + 10·5

R_B = 275/6 = 45.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45.83 = 14.17 kN

คำตอบ

R_A = 14.17 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 730 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

โมเมนต์รอบผนัง

M_A = W·x̄ + P·a = 60·6.667 + 55·6 = 730 kN·m

คำตอบ

M_A = 730 kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −27.06 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8.75 = 26.25 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26.25/0.9701 = −27.06 kN

คำตอบ

F_AB = −27.06 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −28.84 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 25·2 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 16 = −1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0.5547 = −28.84 kN

คำตอบ

F_BC = −28.84 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 0.5333 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

โครงข้อแข็งทั้งหมด: โมเมนต์รอบ A

B_y = 4·0.48/2.4 = 0.8 kN

ขา BC: โมเมนต์รอบ C

0.8·1.2 = T·1.8

T = 0.5333 kN

คำตอบ

T = 0.5333 kN

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: C = 1.03 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ B

B_y = 2·1.2/3.2 = 0.75 kN

แรงในเส้นยึด

T = 0.75·1.6/1.7 = 0.7059 kN

แรงที่หมุดบน BC

C_x = 0.7059 kN, C_y = −0.75 kN

C = √(0.7059² + 0.75²) = 1.03 kN

คำตอบ

C = 1.03 kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 27 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

ตัดที่ x = 1.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 24·1.5 − 8·1.5·0.75 = 27 kN·m

คำตอบ

M_x = 27 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 11.88 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 5·6·3

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

ตัดที่ x = 5.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 35·5.5 − 30·(5.5 − 2) − 5·5.5·2.75 = 11.88 kN·m

คำตอบ

M_x = 11.88 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (60000·150 − 1963·105)/(60000 − 1963) = 151.5 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.522² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−46.52² = 4.556 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_บน = 12.52 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

เอว: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·307.5 + 3000·150)/6600 = 235.9 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 240·15³/12 + 3600·(307.5 − 235.9)² = 1.852 × 10⁷ mm⁴

เอว: 10·300³/12 + 3000·(150 − 235.9)² = 4.464 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.852 × 10⁷ + 4.464 × 10⁷ = 6.316 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 315 − 235.9 = 79.09 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·79.09/6.316 × 10⁷ = 12.52 MPa

คำตอบ

σ_บน = 12.52 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics