สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง
แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด
เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด
F = √(Fx² + Fy²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล
Fin·a = Fout·b
ทอกเกิล
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

  1. วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
  2. หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
  3. แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
  4. สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzdFAB

แรงคงที่ F = (0, 30, −30) N กระทำต่อวัตถุขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุด A(1, 1, −2) ไปยังจุด B(3, −5, −3) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหางาน W ที่แรงทำ

F = (0, 30, −30) NA(1, 1, −2) mB(3, −5, −3) m
W = J
2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzab

สำหรับ a = (0, 5, −3) และ b = (3, 1, −5) จงหาองค์ประกอบ y ซึ่งคือ (a × b)y ของผลคูณไขว้ a × b

a = (0, 5, −3)b = (3, 1, −5)
(a × b)y =
3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 65 kNP2​ = 30 kNABCRA​ = ?0.5 m2.5 m1 m

คานมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างจาก A 3 m และมีส่วนยื่นเลย B ไปถึงปลายอิสระ C จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RA โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 65 kN ที่ 0.5 mP2 = 30 kN ที่ 4 m
RA = kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
P = 30 kN, 30°Q = 45 kNABRA​ = ?0.5 m2 m1.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 2.5 m จาก A โดยเอียง 30° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 0.5 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม RA ที่หมุด A

L = 4 mP = 30 kN ที่ 2.5 m, θ = 30°Q = 45 kN ที่ 0.5 m
RA = kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABCDEFGH35 kN40 kN40 kN4 × 3 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 35 kN ↓C: 40 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABCDEFGH10 kN40 kN25 kN35 kN4 × 4 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง
4 kN2 m0.6 m1.4 mABCDE

โครงรูปตัว A ที่แสดงตั้งบนหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B ห่างกัน 2 m ขาทั้งสองมาพบกันที่หมุด C สูง 2 m และเส้นยึดแนวนอน DE อยู่เหนือพื้น 0.6 m โหลด 4 kN กระทำที่ C จงหาขนาดของแรง C ที่หมุด C กระทำต่อขา BC

P = 4 kNAB = 2 mความสูงของ C = 2 mความสูงของ DE = 0.6 m
C = kN
8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก
w = 1.5 kN/m3 kN0.8 m0.7 m0.6 mABCD

คาน AB ของขายึดผนังที่แสดงต่อด้วยหมุดที่ A และถูกค้ำด้วยค้ำยัน CD (C ต่ำกว่า A เป็นระยะ 0.6 m) คานรับโหลดแผ่สม่ำเสมอ 1.5 kN/m ตลอดความยาวและโหลดจุด 3 kN ที่ปลายอิสระ B จงหาแรง FCD ในค้ำยัน

w = 1.5 kN/mP = 3 kNAD = 0.8 mAB = 1.5 mAC = 0.6 m
FCD = kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 8 kN/mABหน้าตัด4 m6 m

หาแรงเฉือน Vx ที่หน้าตัด x = 4 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 4 m
Vx = kN
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 10 kN/mP = 30 kNABหน้าตัด0.5 m3.5 m4 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 30 kN ที่ 4 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
1403024012xขนาดเป็น mm

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
1802024012xM = 25 kN·mขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 25 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σบน ที่ขอบบน

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σบน = MPa

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: W = −150 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

การกระจัด

d = B − A = (3, −5, −3) − (1, 1, −2) = (2, −6, −1) m

งาน

W = F·d = 0·2 + 30·(−6) + (−30)·(−1) = −150 J

คำตอบ

W = −150 J

งานเป็นลบ: แรงส่วนใหญ่กระทำสวนทางกับการเคลื่อนที่

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: (a × b)y = −9

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

ผลคูณไขว้ทีละองค์ประกอบ

(a × b)x = aybz − azby = 5·(−5) − (−3)·1 = −22
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·3 − 0·(−5) = −9
(a × b)z = axby − aybx = 0·1 − 5·3 = −15

องค์ประกอบที่ถาม

(a × b)y = −9

คำตอบ

(a × b)y = −9

ตรวจสอบ: a × b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดของมันกับ a และกับ b จึงเป็นศูนย์

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 44.17 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: RB·3 = 65·0.5 + 30·4
RB = 152.5/3 = 50.83 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

RA = 65 + 30 − 50.83 = 44.17 kN

คำตอบ

RA = 44.17 kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 51.96 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

Pv = 30·sin 30° = 15 kN
Ph = 30·cos 30° = 25.98 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣMA = 0: RB·4 = 15·2.5 + 45·0.5 → RB = 15 kN
Ay = 15 + 45 − 15 = 45 kN
Ax = Ph = 25.98 kN

แรงลัพธ์ที่ A

RA = √(25.98² + 45²) = 51.96 kN

คำตอบ

RA = 51.96 kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 49.69 kN (T), BC: 49.69 kN (T), CD: 36.56 kN (T), DE: 36.56 kN (T), FG: 73.13 kN (C), GH: 73.13 kN (C), AF: 82.81 kN (C), HE: 60.94 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 39.06 kN (T), HC: 60.94 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน BF

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ B

AB และ BC อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง BF

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 18.75 kN (T), BC: 18.75 kN (T), CD: 21.25 kN (T), DE: 21.25 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 76.01 kN (C), HE: 30.05 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 19.45 kN (T), HC: 15.91 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: BF
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: C = 2.458 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงในเส้นยึดจากขา BC

By = 2 kN
T = 2·1/1.4 = 1.429 kN

องค์ประกอบของแรงที่หมุดบน BC

Cx = T = 1.429 kN, Cy = −By = −2 kN

ขนาด

C = √(1.429² + 2²) = 2.458 kN

คำตอบ

C = 2.458 kN
8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: FCD = 12.89 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงลัพธ์ของโหลดแผ่สม่ำเสมอ

w·L = 1.5·1.5 = 2.25 kN ที่ 0.75 m

โมเมนต์รอบ A สำหรับคาน

FCD·0.6·0.8 = 2.25·0.75 + 3·1.5 = 6.188 kN·m
FCD = 12.89 kN

คำตอบ

FCD = 12.89 kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Vx = 8 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40หน้าตัด4 m6 m

ตัดที่ x = 4 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = RA − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)
Vx = 40 − 8·4 = 8 kN

คำตอบ

Vx = 8 kN
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 26.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·4 + 10·8·4
RB = 440/8 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 55 = 55 kN
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​ = 55RB​ = 55หน้าตัด0.5 m3.5 m4 m

ตัดที่ x = 0.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 55·0.5 − 10·0.5·0.25 = 26.25 kN·m

คำตอบ

Mx = 26.25 kN·m
11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 45.28 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
เอว: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·255 + 2880·120)/7080 = 200.1 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 140·30³/12 + 4200·(255 − 200.1)² = 1.298 × 10⁷ mm⁴
เอว: 12·240³/12 + 2880·(120 − 200.1)² = 3.23 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.298 × 10⁷ + 3.23 × 10⁷ = 4.528 × 10⁷ mm⁴ = 45.28 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 45.28 × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σบน = 41.34 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
เอว: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·250 + 2880·120)/6480 = 192.2 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 180·20³/12 + 3600·(250 − 192.2)² = 1.214 × 10⁷ mm⁴
เอว: 12·240³/12 + 2880·(120 − 192.2)² = 2.885 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.214 × 10⁷ + 2.885 × 10⁷ = 4.098 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ

y = 260 − 192.2 = 67.78 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·67.78/4.098 × 10⁷ = 41.34 MPa

คำตอบ

σบน = 41.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics