สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
ผลคูณจุด: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b: a·b/|b|
งาน: W = F·d
ผลคูณไขว้: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
พื้นที่: สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O: M_O = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน: V = |a·(b × c)|

วิธีการ

เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด: เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด: F = √(F_x² + F_y²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล: F_in·a = F_out·b
ทอกเกิล: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง

จงหาค่าของ k ที่ทำให้เวกเตอร์ a = (2, 2, 2) และ b = (−6, k, 3) ตั้งฉากกัน

a = (2, 2, 2)b = (−6, k, 3)

k =

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก

แรง F = (0, 10, −50) N กระทำที่จุด A(4, 2, −3) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหาองค์ประกอบ x ซึ่งคือ M_x ของโมเมนต์ของแรงรอบ จุดกำเนิด O(0, 0, 0)

F = (0, 10, −50) NA(4, 2, −3) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 3 m จากผนัง จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A ที่ผนัง

L = 8 mP = 10 kN ที่ 3 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 8 m

R_A = kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 4 mP = 55 kN ที่ 2.5 mw = 4 kN/m จาก 2 ถึง 3 m

R_A = kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 30 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 30 kN ←

F_AC = kN

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง

ข้อเหวี่ยงรูปตัวแอลที่แสดงหมุนรอบหมุด O แรงแนวดิ่ง 50 N ที่ A (ห่างจาก O 200 mm) สมดุลด้วยแรงแนวนอนที่ B (สูงเหนือ O 60 mm) จงหาขนาดของปฏิกิริยาที่หมุด F_O

F = 50 NOA = 200 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก

บูมสม่ำเสมอแนวนอน AB น้ำหนัก 3 kN ต่อด้วยหมุดกับผนังที่ A และถูกยึดด้วยสายเคเบิลจาก B ไปยังจุด C บนผนังซึ่งสูงกว่า A 3 m โหลด 8 kN แขวนที่ B จงหาขนาดของปฏิกิริยาที่หมุด A

W = 8 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 3 m

A = kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P₁ ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P₂ ที่ C จงหาโมเมนต์ดัด M_B ที่จุดรองรับ B ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP₁ = 75 kN ที่ 3.5 mP₂ = 25 kN ที่ 8 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 6 m

M_B = kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 15 kN ที่ 4.5 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 140 mm หนา 24 mm ความลึกรวม 380 mm และเอวหนา 14 mm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 140 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 100 mm × 200 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 60 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 200 mmช่องตัด: 60 × 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: k = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

ผลคูณจุดเท่ากับศูนย์

a·b = 2·(−6) + 2·k + 2·3 = 0

−6 + 2·k = 0

แก้หา k

k = −(−6)/2 = 3

คำตอบ

k = 3

2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: M_x = −70 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

เวกเตอร์ตำแหน่งจาก O ไป A

r = A − O = (4, 2, −3) − (0, 0, 0) = (4, 2, −3) m

โมเมนต์ M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−50) − (−3)·10 = −70 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·0 − 4·(−50) = 200 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·10 − 2·0 = 40 N·m

องค์ประกอบที่ถาม

M_x = −70 N·m

คำตอบ

M_x = −70 N·m

3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 26 kN

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำแบบแผ่

W = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m

สมดุลในแนวดิ่ง

R_A = P + W = 10 + 16 = 26 kN

คำตอบ

R_A = 26 kN

4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 22.13 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2.5 + 4·1·2.5

R_B = 147.5/4 = 36.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 36.88 = 22.13 kN

คำตอบ

R_A = 22.13 kN

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 30 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 42.43 kN (C), DG: 14.14 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AC = −10 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 − 30·4 → C_y = −10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − −10 = 40 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−10/0.7071 = 14.14 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(14.14)·0.7071 = −10 kN

คำตอบ

F_AC = −10 kN (แรงอัด)

7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: F_O = 174 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ F_in·a = F_out·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

แรงที่ B

Q = 50·200/60 = 166.7 N

ปฏิกิริยาที่หมุด

O_x = 166.7 N, O_y = 50 N

F_O = √(166.7² + 50²) = 174 N

คำตอบ

F_O = 174 N

8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: A = 15.9 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

แรงตึงในสายเคเบิล

T = (8 + 3/2)/0.5145 = 18.46 kN

องค์ประกอบที่ A

A_x = T·cos β = 15.83 kN

A_y = 8 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

ขนาด

A = √(15.83² + 1.5²) = 15.9 kN

คำตอบ

A = 15.9 kN

9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_B = −50 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·3.5 + 25·8

R_B = 462.5/6 = 77.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 77.08 = 22.92 kN

ตัดที่ B แล้วเก็บส่วนยื่นไว้

มีเพียง P₂ ที่กระทำต่อส่วนยื่น โดยมีแขนโมเมนต์ a แรงนี้ทำให้คานโค้งขึ้นเหนือจุดรองรับ (โมเมนต์ลบ)

M_B = −P₂·a = −25·2 = −50 kN·m

คำตอบ

M_B = −50 kN·m

10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 56.88 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4.5 + 10·6·3

R_B = 247.5/6 = 41.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 41.25 = 33.75 kN

ตัดที่ x = 3.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 33.75·3.5 − 10·3.5·1.75 = 56.88 kN·m

คำตอบ

M_x = 56.88 kN·m

11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 255.9 × 10⁶ mm⁴

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·380³ − 126·332³)/12

I_x = 2.559 × 10⁸ mm⁴ = 255.9 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 255.9 × 10⁶ mm⁴

12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 61.98 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (20000·100 − 2400·60)/(20000 − 2400) = 105.5 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·200³/12 + 20000·−5.455² = 67.26 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

60·40³/12 + 2400·−45.45² = 5.279 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 61.98 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 61.98 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics