สถิตยศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

ขนาด
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
û = a/|a|
องค์ประกอบจากมุม
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
ผลคูณจุด
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b
a·b/|b|
งาน
W = F·d
ผลคูณไขว้
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
พื้นที่
สี่เหลี่ยมด้านขนาน |a × b|, สามเหลี่ยม ½|a × b|
โมเมนต์รอบ O
MO = r × F, r = A − O
ปริมาตรของทรงหกหน้าขนาน
V = |a·(b × c)|

วิธีการ

  1. เขียนทุกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้ด้วยขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
  2. สำหรับความยาวและทิศทาง ใช้ขนาด √(x² + y² + z²) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a/|a|
  3. ใช้ผลคูณจุดสำหรับมุม โพรเจกชัน การตั้งฉาก และงาน: a·b = |a||b|cos θ
  4. ใช้ผลคูณไขว้สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นที่ และโมเมนต์: เขียนทั้งสามองค์ประกอบอย่างระมัดระวัง โดยคงลำดับ a × b

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

โครงข้อแข็งและเครื่องกล

สมดุลของแต่ละชิ้นส่วน
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง
แรงตามแนวเส้นผ่านหมุดสองตัวของมัน
แรงที่หมุด
เท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม
ขนาดของแรงที่หมุด
F = √(Fx² + Fy²)
คาน คีม และข้อเหวี่ยงรูปตัวแอล
Fin·a = Fout·b
ทอกเกิล
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก

วิธีการ

  1. วาดโครงสร้างทั้งหมดและหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับ ถ้ามีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว
  2. หาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: รับแรงเฉพาะที่หมุดสองตัว แรงของมันกระทำตามแนวเส้นระหว่างหมุด
  3. แยกโครงข้อแข็งออก และวาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันที่จุดที่ชิ้นส่วนมาพบกัน
  4. สำหรับแต่ละชิ้นส่วน หาโมเมนต์รอบหมุดที่มีแรงไม่ทราบค่า แล้วใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 รวมองค์ประกอบเป็นขนาดตอนท้าย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2โจทย์ฝึก

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ปานกลาง
xyzab

จงหามุม θ ระหว่างเวกเตอร์ a = (−1, −6, −2) และ b = (−1, 6, 2) ในหน่วยองศา

a = (−1, −6, −2)b = (−1, 6, 2)
θ = °
2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ยาก
xyzABC

จงหาพื้นที่ A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A(−4, 4, −2), B(−3, −3, 2) และ C(−1, 2, 0) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร

A(−4, 4, −2)B(−3, −3, 2)C(−1, 2, 0)
A = m²
3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA

L = 4 mP1 = 20 kN ที่ 1 mP2 = 15 kN ที่ 2 m
RA = kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
P = 80 kN, 40°Q = 10 kNABRA​ = ?1.5 m4 m0.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 5.5 m จาก A โดยเอียง 40° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 1.5 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม RA ที่หมุด A

L = 6 mP = 80 kN ที่ 5.5 m, θ = 40°Q = 10 kN ที่ 1.5 m
RA = kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABCDEFGH25 kN30 kN4 × 3 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

F: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน BG
  13. 13ชิ้นส่วน DG
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABCDEFGH15 kN30 kN25 kN35 kN4 × 4 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓F: 35 kN →
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกลปานกลาง
OAB120 NQ240 mm80 mmFO​ = ?

ข้อเหวี่ยงรูปตัวแอลที่แสดงหมุนรอบหมุด O แรงแนวดิ่ง 120 N ที่ A (ห่างจาก O 240 mm) สมดุลด้วยแรงแนวนอนที่ B (สูงเหนือ O 80 mm) จงหาขนาดของปฏิกิริยาที่หมุด FO

F = 120 NOA = 240 mmOB = 80 mm
FO = N
8.โครงข้อแข็งและเครื่องกลยาก
5 kN3 kN2 m2 mABC

บูมสม่ำเสมอแนวนอน AB น้ำหนัก 3 kN ต่อด้วยหมุดกับผนังที่ A และถูกยึดด้วยสายเคเบิลจากปลาย B ไปยังจุด C บนผนังซึ่งสูงกว่า A 2 m โหลด 5 kN แขวนที่ B จงหาแรงตึง T ในสายเคเบิล

W = 5 kNWb = 3 kNAB = 2 mAC = 2 m
T = kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
10 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
5 kN/m15 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

15 kN @ 0 m25 kN @ 12 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
120 mm200 mm60 mmØ60xIx​ = ?

แผ่น 120 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
1201524016xM โค้งคว่ำขนาดเป็น mm

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 60 MPa สำหรับแรงดึง และ 120 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดโค้งคว่ำมากที่สุด Mallow ที่คานรับได้ (ตอบเป็นขนาด)

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 240 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m

3สารละลาย

1.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: θ = 162 °

ผลคูณจุด: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ เป็นสเกลาร์ มันให้มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว cos θ = a·b/(|a|·|b|) และเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน โพรเจกชันสเกลาร์ของ a บน b คือ a·b/|b| และแรงคงที่ F ที่เคลื่อนผ่านการกระจัด d ทำงาน W = F·d

ผลคูณจุด

a·b = (−1)·(−1) + (−6)·6 + (−2)·2 = −39

ขนาด

|a| = √((−1)² + (−6)² + (−2)²) = 6.403
|b| = √((−1)² + 6² + 2²) = 6.403

มุม

cos θ = −39/(6.403·6.403) = −0.9512
θ = arccos(−0.9512) = 162°

คำตอบ

θ = 162°
2.เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้

คำตอบ: A = 11.15 m²

ผลคูณไขว้: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง และ |a × b| = |a|·|b|·sin θ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง (สามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของมัน) ลำดับมีผล: b × a = −(a × b) โมเมนต์ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ MO = r × F โดย r = A − O

เวกเตอร์ขอบ

AB = B − A = (1, −7, 4)
AC = C − A = (3, −2, 2)

ผลคูณไขว้

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = (−7)·2 − 4·(−2) = −6
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 4·3 − 1·2 = 10
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 1·(−2) − (−7)·3 = 19
|AB × AC| = √((−6)² + 10² + 19²) = 22.29

พื้นที่ของสามเหลี่ยม

A = ½·22.29 = 11.15 m²

คำตอบ

A = 11.15 m²
3.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 22.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 15·2
RB = 50/4 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 12.5 = 22.5 kN

คำตอบ

RA = 22.5 kN
4.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 62.41 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

Pv = 80·sin 40° = 51.42 kN
Ph = 80·cos 40° = 61.28 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣMA = 0: RB·6 = 51.42·5.5 + 10·1.5 → RB = 49.64 kN
Ay = 51.42 + 10 − 49.64 = 11.79 kN
Ax = Ph = 61.28 kN

แรงลัพธ์ที่ A

RA = √(61.28² + 11.79²) = 62.41 kN

คำตอบ

RA = 62.41 kN
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 19.69 kN (T), BC: 20.62 kN (T), CD: 20.62 kN (T), DE: 21.56 kN (T), FG: 19.69 kN (C), GH: 21.56 kN (C), AF: 32.81 kN (C), HE: 35.94 kN (C), BF: 1.25 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (C), BG: 1.563 kN (C), DG: 1.563 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ G

FG และ GH อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 63.75 kN (T), BC: 63.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 58.34 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 15.91 kN (C), HC: 15.91 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG
7.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: FO = 379.5 N

เครื่องกล: คีม คาน กลไกข้อต่อ และที่หนีบเปลี่ยนแรงอินพุตเป็นแรงเอาต์พุตที่ใหญ่ขึ้นหรือมีทิศทางต่างออกไป วาดชิ้นส่วนหนึ่งเป็นวัตถุอิสระและหาโมเมนต์รอบจุดหมุน: แรงที่หมุดหายไป และ Fin·a = Fout·b ให้ความได้เปรียบเชิงกล a/b แรงที่หมุดได้จาก ΣF = 0 บนชิ้นส่วนเดียวกัน ในทอกเกิล ลิงก์สองอันมาพบกันที่มุมตื้น θ แต่ละลิงก์เป็นชิ้นส่วนรับแรงสองแรง ดังนั้นแรงเล็ก ๆ F ที่รอยต่อสร้างแรงในลิงก์ขนาดใหญ่ F/(2 sin θ) และแรงหนีบ F/(2 tan θ)

แรงที่ B

Q = 120·240/80 = 360 N

ปฏิกิริยาที่หมุด

Ox = 360 N, Oy = 120 N
FO = √(360² + 120²) = 379.5 N

คำตอบ

FO = 379.5 N
8.โครงข้อแข็งและเครื่องกล

คำตอบ: T = 9.192 kN

โครงข้อแข็งและเครื่องกล: ต่างจากโครงถัก โครงข้อแข็งมีชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นที่รับแรงมากกว่าสองจุด หรือมีโหลดระหว่างหมุด ก่อนอื่นหาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง: ชิ้นส่วนที่รับโหลดเฉพาะที่หมุดสองตัวมีแรงตามแนวเส้นผ่านหมุดทั้งสอง ดังนั้นเพิ่มตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว ไม่ใช่สอง จากนั้นใช้โครงสร้างทั้งหมดหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับเมื่อมีตัวไม่ทราบค่าไม่เกินสามตัว สุดท้ายแยกโครงข้อแข็งออก: วาดแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน โดยมีแรงที่หมุดเท่ากันและตรงข้ามกันบนสองชิ้นส่วนที่มันเชื่อม และเขียน ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 สำหรับมัน การหาโมเมนต์รอบหมุดทำให้ทั้งสององค์ประกอบของแรงที่หมุดนั้นหายไปจากสมการ

มุมของสายเคเบิล

BC = √(2² + 2²) = 2.828 m, sin β = 0.7071

โมเมนต์รอบจุด A

T·0.7071·2 = 5·2 + 3·1
T = 9.192 kN

คำตอบ

T = 9.192 kN
9.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 70 kN, R2 = 50 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 65, MC = 120 kN·m, MD = 105, ME = 80, MF = 45, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: MC = 120 kN·m
10.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: F (x = 10 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 32.5 kN, R2 = 47.5 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −30, MC = −5, MD = 0, ME = −15, MF = −50 kN·m, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย F: MF = −50 kN·m
11.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 74.24 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (24000·100 − 2827·60)/(24000 − 2827) = 105.3 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

120·200³/12 + 24000·−5.342² = 80.68 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−45.34² = 6.449 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 74.24 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 74.24 × 10⁶ mm⁴
12.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Mallow = 24.42 kN·m

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

เซนทรอยด์

ȳ = (1800·247.5 + 3840·120)/5640 = 160.7 mm
ขอบบน: c = 255 − 160.7 = 94.31 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 120·15³/12 + 1800·86.81² + 16·240³/12 + 3840·40.69² = 3.839 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

โค้งคว่ำ: ด้านบนรับแรงดึง ด้านล่างรับแรงอัด

ขอบบน: M = 60·3.839 × 10⁷/94.31 = 24.42 kN·m
ขอบล่าง: M = 120·3.839 × 10⁷/160.7 = 28.67 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

Mallow = min = 24.42 kN·m (ขอบบน)

คำตอบ

Mallow = 24.42 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics