สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 462 และ 522 h เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม
ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนบน 25% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x
เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 30 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 71.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 16 h รุ่นที่ 2: 50 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 62.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 17 h จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂
เพลาที่กลึง 21 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 8.4 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 20 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 9.591 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 34.17
ตัวอย่างนักเรียน 36 คนมีคะแนนเฉลี่ย 199.4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 200
การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 50 เทียบกับ H₁: μ < 50 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 64 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 12 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 45.95 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 12 ที่ค่า x ใด
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง
การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์ตรวจสอบว่าความถี่ใน 9 กลุ่มเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองซึ่งค่าเฉลี่ยประมาณจากข้อมูลชุดเดียวกันหรือไม่ จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.01
คำตอบ: P = 0.5378
การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง
คำตอบ: x = 182.7 cm
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 15.22 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ช่วงไม่มี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ
คำตอบ: σ = 12.13 µm
ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s
ช่วง 95% สำหรับ σ: [6.426, 12.13] µm
คำตอบ: t = −0.9
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
|t| < 2.03 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
คำตอบ: 1 − β = 64.58 %
กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)
คำตอบ: r² = 0.9924
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ประมาณ 99.24% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง
คำตอบ: x = 2.903
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
คำตอบ: χ² = 3.743
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)
คำตอบ: χ²crit = 18.48
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference