สถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ: χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ: ปฏิเสธ H₀ ถ้า χ² > χ²_crit

2โจทย์ฝึก

1.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 g Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 769.7 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769.7 g

P =

2.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h ลากค่าตัดให้ส่วนบน 60% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

3.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 7 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 91 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 15 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 7x̄ = 91s = 1595%t(6) = 2.447

E =

4.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 26 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2

σ = 26E = 295%

n =

5.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 81 คนมีคะแนนเฉลี่ย 49.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 5 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 50

μ₀ = 50x̄ = 49.5s = 5n = 81

t =

6.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ในการทดลองหนึ่ง ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา A หายป่วย 175 จาก 250 คน และผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา B หายป่วย 90 จาก 120 คน จงใช้สัดส่วนรวมหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: p₁ = p₂

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 90n₂ = 120

z =

7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1622Σxy = 239

r =

8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (5, 74) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 5(5, 74)

e =

9.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1802 × 3

χ² =

10.การทดสอบไคสแควร์ยาก

การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ใน 5 กลุ่มกับสัดส่วนที่คาดหวังซึ่งกำหนดไว้ครบ (ไม่มีพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²_crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.05

α = 0.05

χ²_crit =

3สารละลาย

1.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.02275

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

หางด้านบน

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

2.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 490 h

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.4

z จากตาราง

z ≈ −0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 500 − 0.25·40 = 490 h

คำตอบ

x = 490 h

3.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 13.87

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 6, t = 2.447

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.447·15/√7 = 13.87

คำตอบ

E = 13.87

4.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 650

แก้หา n

n = (1.96·26/2)² = 649.2

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 650

คำตอบ

n = 650

5.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −0.9

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

ตัวสถิติทดสอบ

t = (49.5 − 50)/0.5556 = −0.9

คำตอบ

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

6.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = −0.9987

การทดสอบสมมติฐาน: ค่าสถิติทดสอบ = (ค่าประมาณ − ค่าภายใต้ H₀)/(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายใต้ H₀) ค่า p คือความน่าจะเป็น โดยสมมติว่า H₀ เป็นจริง ที่จะได้ค่าสถิติสุดโต่งอย่างน้อยเท่ากับที่สังเกตได้ คือพื้นที่ในหางหนึ่งสำหรับ H₁ แบบด้านเดียว และสองเท่าของพื้นที่หางสำหรับ H₁ แบบสองด้าน ปฏิเสธ H₀ เมื่อ p ≤ α

สัดส่วนจากตัวอย่าง

p̂₁ = 175/250 = 0.7

p̂₂ = 90/120 = 0.75

p̂ = 265/370 = 0.7162

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายใต้ H₀

SE = √(0.7162·0.2838·(1/250 + 1/120)) = 0.05007

ตัวสถิติทดสอบ

z = (0.7 − 0.75)/0.05007 = −0.9987

คำตอบ

z = −0.9987

|z| < 1.96 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = −0.924

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 239 − 15·88/5 = −25

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1622 − 88²/5 = 73.2

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = −25/√(10·73.2) = −0.924

คำตอบ

r = −0.924

8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = −3.5

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 414/5 = 82.8

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

เส้นถดถอย

b = 212/40 = 5.3

a = 82.8 − 5.3·6 = 51

ŷ = 51 + 5.3·x

ค่าทำนาย

ŷ = 51 + 5.3·5 = 77.5

ส่วนตกค้าง

e = 74 − 77.5 = −3.5

คำตอบ

e = −3.5

จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง

9.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 4.15

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

นักเรียน: 120·90/180 = 60, 120·45/180 = 30, 120·45/180 = 30

เจ้าหน้าที่: 60·90/180 = 30, 60·45/180 = 15, 60·45/180 = 15

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (61 − 60)²/60 + (25 − 30)²/30 + (34 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (20 − 15)²/15 + (11 − 15)²/15

χ² = 4.15

คำตอบ

χ² = 4.15

df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

10.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ²_crit = 9.488

องศาเสรี

df = 5 − 1 = 4

ตาราง

χ²_crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488

คำตอบ

χ²_crit = 9.488

ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference