สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9357 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง
อายุการใช้งานของแบตเตอรี่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 75% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
ตัวอย่าง 11 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 119.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 16 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย
เพลาที่กลึง 25 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 3.4 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 24 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 12.401 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 39.364
พนักงาน 6 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 4.23 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 7.4 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μd = 0
ตัวอย่างการวัด 25 ค่ามีค่าเฉลี่ย 498.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 4 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (3, 12) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “นักเรียน, รถบัส”
ทำการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์กับตารางการณ์จรที่มี 3 แถวและ 3 หลัก (ไม่นับแถวและหลักรวม) จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.05
คำตอบ: z = 1.85
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
หา 0.9678 ในตารางและอ่านค่า z
คำตอบ: x = 527 h
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
คำตอบ: E = 8.741
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
คำตอบ: σ = 4.73 µm
ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s
ช่วง 95% สำหรับ σ: [2.655, 4.73] µm
คำตอบ: t = 1.4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
เมื่อ df = 5 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.571 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀
คำตอบ: U = 500.2
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
คำตอบ: r = 0.9671
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
คำตอบ: e = −2.55
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง
คำตอบ: E = 20.05
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
คำตอบ: χ²crit = 9.488
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference