สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 60 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 s Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 45 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 110.1 s ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
มวล X ของผลิตภัณฑ์จากสายการผลิต 1 และ Y จากสายการผลิต 2 เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 g ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 490 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
ตัวอย่าง 30 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 34 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 11.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 28 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5
สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 116 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 7 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 114.6 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)
ตัวอย่างการวัด 81 ค่ามีค่าเฉลี่ย 106.7 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 20 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 61 ที่ค่า x ใด
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง
การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ใน 9 กลุ่มกับสัดส่วนที่คาดหวังซึ่งกำหนดไว้ครบ (ไม่มีพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบนี้มีองศาเสรี df เท่าใด
คำตอบ: P = 0.2119
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
คำตอบ: P = 0.8413
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
คำตอบ: E = 3.567
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
คำตอบ: n = 943
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
คำตอบ: z = 1.029
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1.96 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
คำตอบ: L = 103
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
คำตอบ: r = 0.991
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
คำตอบ: x = 6.4
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
คำตอบ: χ² = 25.31
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)
คำตอบ: df = 8
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference