การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
w0​ = 6 kN/mP = 20 kNABRB​ = ?3.5 m0.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่าย (หมุดที่ A ลูกกลิ้งที่ B) รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้น ลดลงจาก 6 kN/m ที่ A เป็นศูนย์ที่ B แรงกระทำเป็นจุด P ยังกระทำที่ระยะ 3.5 m จาก A ด้วย จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับในแนวดิ่ง RB

L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 20 kN ที่ 3.5 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
P = 15 kNQ = 20 kNADCMA​ = ?1 m3 m2 m2 m

คานประกอบยึดแน่นกับผนังที่ A มีบานพับภายในที่ C (ห่างจาก A 4 m) และวางบนลูกกลิ้งที่ D (ห่างจาก A 8 m) รับ แรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จาก A และแรงกระทำเป็นจุด Q ที่ระยะ 1 m จาก A จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ที่ผนัง

AC = 4 mAD = 8 mP = 15 kN ที่ 6 mQ = 20 kN ที่ 1 m
MA = kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 4 kN/mABหน้าตัด7 m1 m

หาแรงเฉือน Vx ที่หน้าตัด x = 7 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 7 m
Vx = kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 10 kN/mAB3 m2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอบนบางส่วนของช่วงคาน จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 6 mw = 10 kN/m จาก 3 ถึง 5 m
Mmax = kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB30 kN4 m3 m2 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 30 kN
FAC = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABBCACACB60 kN5 kN6 m1 m3 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 60 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 5 kN →
FAC = kN
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 12 kNABδ1 m3 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 1 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 12 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 15 kN/mδL = 2.5 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 1 md = 25 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 25 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 140 kNL = 2.5 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 140 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 140 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 21.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·4 = 12·1.333 + 20·3.5
RB = 21.5 kN
RA = 32 − 21.5 = 10.5 kN

คำตอบ

RB = 21.5 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: MA = 50 kN·m

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ บานพับภายในรับโมเมนต์ดัดไม่ได้ ซึ่งให้สมการเพิ่มหนึ่งสมการ: โมเมนต์รอบบานพับของแรงทั้งสองข้างเป็นศูนย์

ส่วน CD

บานพับไม่มีโมเมนต์ ดังนั้นโมเมนต์รอบ C บน CD เพียงส่วนเดียวต้องสมดุล

ΣMC = 0: RD·4 = 15·2
RD = 7.5 kN
VC = 15 − 7.5 = 7.5 kN

ส่วน AC

แรงที่บานพับ VC กระทำลงบน AC (เท่ากันและตรงข้ามกับแรงที่กระทำต่อ CD)

RA = 20 + 7.5 = 27.5 kN
MA = 20·1 + 7.5·4 = 50 kN·m

คำตอบ

MA = 50 kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Vx = −12 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16หน้าตัด7 m1 m

ตัดที่ x = 7 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = RA − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)
Vx = 16 − 4·7 = −12 kN

คำตอบ

Vx = −12 kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 22.22 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2·4
RB = 80/6 = 13.33 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 13.33 = 6.667 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

แรงเฉือนเริ่มต้นที่ RA คงที่ตลอดส่วนที่ไม่มีแรงกระทำ และลดลงด้วยความชัน w ภายในแรงกระทำ

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 6.667/10 = 3.667 m

โมเมนต์สูงสุด

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 3)²/2 = 6.667·3.667 − 10·0.6667²/2 = 22.22 kN·m

คำตอบ

Mmax = 22.22 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 11.25 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22.5 = 7.5 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.8944 = −25.16 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25.16)·0.4472 = 11.25 kN

คำตอบ

FAC = 11.25 kN (แรงดึง)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 20.83 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB60 kN5 kNAy​Cy​Ax​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 + 5·3 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12.5 = 47.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.5145 = −24.3 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−24.3)·0.8575 = 20.83 kN

คำตอบ

FAC = 20.83 kN (แรงดึง)
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 5.114 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 12000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1000²·3000²/(3·1.76 × 10¹²·4000) = 5.114 mm

คำตอบ

δP = 5.114 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·11000·6.944) = 9.988 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ireq = 99.88 × 10⁶ mm⁴
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 27.04 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·1000 = 700 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27.04 kN

คำตอบ

Pcr = 27.04 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 126.7 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 126.7 mm

คำตอบ

d = 126.7 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 157.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis