การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
w0​ = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?3 m3 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่าย (หมุดที่ A ลูกกลิ้งที่ B) รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้น ลดลงจาก 6 kN/m ที่ A เป็นศูนย์ที่ B แรงกระทำเป็นจุด P ยังกระทำที่ระยะ 3 m จาก A ด้วย จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับในแนวดิ่ง RA

L = 6 mw0 = 6 kN/mP = 25 kN ที่ 3 m
RA = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w0​ = 4 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?6 m2 m

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งเป็นศูนย์ที่ผนังและเพิ่มขึ้นเป็น 4 kN/m ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ที่ผนัง

L = 8 mw0 = 4 kN/mP = 35 kN ที่ 6 m
MA = kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 5 kN/mABหน้าตัด8 m2 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 8 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
12 kN/m55 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

55 kN @ 0 m20 kN @ 12 m12 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB10 kN4 m3 m4 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FBC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 10 kN
FBC = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABBCACACB10 kN30 kN6 m4 m3 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 4 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 10 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 30 kN →
FAC = kN
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 15 kN/mABθ4 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θA ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.การแอ่นตัวของคานยาก
P = 80 kNAB3 m3 m

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่กึ่งกลางช่วงคาน EI คงที่ จงหาแรงปฏิกิริยา RB ที่ค้ำยัน

L = 6 mP = 80 kN ที่ 3 m
RB = kN
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 1.5 m20 × 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 80 kNL = 3 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 80 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 80 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 24.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·6·6 = 18 kN
x̄ = L/3 = 2 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·6 = 18·2 + 25·3
RB = 18.5 kN
RA = 43 − 18.5 = 24.5 kN

คำตอบ

RA = 24.5 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: MA = 295.3 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RA และโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ΣFy = 0 ให้ RA และโมเมนต์รอบผนังให้ MA = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

โมเมนต์รอบผนัง

MA = W·x̄ + P·a = 16·5.333 + 35·6 = 295.3 kN·m

คำตอบ

MA = 295.3 kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 40 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN กระทำที่ x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25หน้าตัด8 m2 m

ตัดที่ x = 8 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 25·8 − 5·8·4 = 40 kN·m

คำตอบ

Mx = 40 kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 111.8 kN, R2 = 59.25 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −20.5, MD = 21, ME = 14.5, MF = −40, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: MB = −110 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FBC = −7.731 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7.5 = 2.5 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.9701 = −7.731 kN

คำตอบ

FBC = −7.731 kN (แรงอัด)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 14.44 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB10 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 + 30·3 → Cy = 21.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 21.67 = −11.67 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21.67/0.8321 = −26.04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−26.04)·0.5547 = 14.44 kN

คำตอบ

FAC = 14.44 kN (แรงดึง)
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θA = 0.01587 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.01587 rad

คำตอบ

θA = 0.01587 rad

นั่นคือ 0.9095°

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: RB = 25 kN

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน RB เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น RBL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

คำตอบ

RB = 25 kN
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 59.68 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1050² = 59680 N = 59.68 kN

คำตอบ

Pcr = 59.68 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 57.49 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 57.49 mm

คำตอบ

d = 57.49 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 146.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis