การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_A

L = 5 mP₁ = 10 kN ที่ 1.5 mP₂ = 15 kN ที่ 3.5 m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 9 m จาก A โดยเอียง 30° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 2 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม R_A ที่หมุด A

L = 10 mP = 25 kN ที่ 9 m, θ = 30°Q = 30 kN ที่ 2 m

R_A = kN

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 1 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 5 mP = 25 kN ที่ 1 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 0 m55 kN @ 6 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 20 kN

F_AB = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓F: 40 kN →

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θ_A ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 75 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/250 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 75 mm

h_req = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 11.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1.5 + 15·3.5

R_B = 67.5/5 = 13.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 13.5 = 11.5 kN

คำตอบ

R_A = 11.5 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 33.26 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

P_v = 25·sin 30° = 12.5 kN

P_h = 25·cos 30° = 21.65 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12.5·9 + 30·2 → R_B = 17.25 kN

A_y = 12.5 + 30 − 17.25 = 25.25 kN

A_x = P_h = 21.65 kN

แรงลัพธ์ที่ A

R_A = √(21.65² + 25.25²) = 33.26 kN

คำตอบ

R_A = 33.26 kN

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = −32.75 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

เก็บส่วนปลายอิสระไว้

P: −25·0.5 = −12.5 kN·m

w: −2·4.5²/2 = −20.25 kN·m

M_x = −12.5 − 20.25 = −32.75 kN·m

คำตอบ

M_x = −32.75 kN·m

ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 38.33 kN, R₂ = 91.67 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −56.67, M_D = −78.33, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = −110 kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −21.21 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0.7071 = −21.21 kN

คำตอบ

F_AB = −21.21 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 43.75 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 21.25 kN (T), FG: 43.75 kN (C), GH: 21.25 kN (C), AF: 5.303 kN (C), HE: 30.05 kN (C), BF: 11.25 kN (C), CG: 0, DH: 21.25 kN (T), BG: 15.91 kN (T), DG: 15.91 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θ_A = 0.02153 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θ_A = wL³/(24EI) = 12·3000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.02153 rad

คำตอบ

θ_A = 0.02153 rad

นั่นคือ 1.234°

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: h_req = 126.6 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·14) = 1.269 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·1.269 × 10⁷/75)^1/3 = 126.6 mm

คำตอบ

h_req = 126.6 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 2.159 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·6000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2.159 kN

คำตอบ

P_cr = 2.159 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 11.19 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/5 = 420

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11.19 MPa

คำตอบ

σ_cr = 11.19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis