การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ R_B

L = 10 mP₁ = 30 kN ที่ 1 mP₂ = 20 kN ที่ 7 m

R_B = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 4 m จาก A โดยเอียง 30° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 5.5 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม R_A ที่หมุด A

L = 6 mP = 50 kN ที่ 4 m, θ = 30°Q = 70 kN ที่ 5.5 m

R_A = kN

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด M_max ในคาน

L = 4 mP₁ = 65 kN ที่ 2 mP₂ = 30 kN ที่ 2.5 m

M_max = kN·m

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 7 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mP = 10 kN ที่ 7 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 40 kN ↓D: 20 kN ↓F: 30 kN ↓H: 15 kN ↓

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน BG
13ชิ้นส่วน DG

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

B: 20 kN ↓C: 10 kN ↓D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →

1ชิ้นส่วน AB
2ชิ้นส่วน BC
3ชิ้นส่วน CD
4ชิ้นส่วน DE
5ชิ้นส่วน FG
6ชิ้นส่วน GH
7ชิ้นส่วน AF
8ชิ้นส่วน HE
9ชิ้นส่วน BF
10ชิ้นส่วน CG
11ชิ้นส่วน DH
12ชิ้นส่วน FC
13ชิ้นส่วน HC

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 3 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δ_P ใต้แรงกระทำ

P = 25 kNa = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 30 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_B = 17 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 20·7

R_B = 170/10 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 17 = 33 kN

คำตอบ

R_B = 17 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 45.56 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

P_v = 50·sin 30° = 25 kN

P_h = 50·cos 30° = 43.3 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4 + 70·5.5 → R_B = 80.83 kN

A_y = 25 + 70 − 80.83 = 14.17 kN

A_x = P_h = 43.3 kN

แรงลัพธ์ที่ A

R_A = √(43.3² + 14.17²) = 45.56 kN

คำตอบ

R_A = 45.56 kN

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 87.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·2 + 30·2.5

R_B = 205/4 = 51.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 51.25 = 43.75 kN

โมเมนต์ใต้แต่ละแรง

เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้

ใต้ P₁: M = R_A·2 = 43.75·2 = 87.5 kN·m

ใต้ P₂: M = R_B·1.5 = 51.25·1.5 = 76.88 kN·m

ค่าที่มากที่สุด

M_max = 87.5 kN·m (ใต้ P₁)

คำตอบ

M_max = 87.5 kN·m

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 73.5 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7 + 5·10·5

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 32 = 28 kN

ตัดที่ x = 7 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 28·7 − 5·7·3.5 = 73.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 73.5 kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ C

BC และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 61.25 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 61.25 kN (C), GH: 43.75 kN (C), AF: 86.62 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 28.75 kN (T), BG: 12.37 kN (T), DG: 12.37 kN (C)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

จุดต่อ G

FG และ GH อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 67.5 kN (T), BC: 67.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38.89 kN (C), HE: 45.96 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 17.68 kN (C), HC: 31.82 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_P = 20.56 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 25000 N, a = 3000 mm, b = 5000 mm, L = 8000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 25000·3000²·5000²/(3·1.14 × 10¹³·8000) = 20.56 mm

คำตอบ

δ_P = 20.56 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 50.75 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 30000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·6000³/(48·3.99 × 10¹²) = 33.83 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 16.92 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 33.83 + 16.92 = 50.75 mm

คำตอบ

δ_max = 50.75 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 126.6 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126.6 kN

คำตอบ

P_cr = 126.6 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 12.34 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

คำตอบ

σ_cr = 12.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis