การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 30 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?6 m3 m1 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 10 mP1 = 30 kN ที่ 6 mP2 = 35 kN ที่ 9 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w0​ = 6 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?3 m2 m

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งมีค่า 6 kN/m ที่ผนังและลดลงเป็นศูนย์ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 3 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ที่ผนัง

L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 10 kN ที่ 3 m
MA = kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
P1​ = 45 kNP2​ = 70 kNABC4 m4 m1.5 m

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C คานรับแรงกระทำเป็นจุด P1 ระหว่างจุดรองรับ และแรงกระทำเป็นจุด P2 ที่ C จงหาแรงเฉือน Vx ที่ตำแหน่งซ้ายของจุดรองรับ B เล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 9.5 mP1 = 45 kN ที่ 4 mP2 = 70 kN ที่ 9.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m
Vx = kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 20 kN/mAB1 m2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอบนบางส่วนของช่วงคาน จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 4 mw = 20 kN/m จาก 1 ถึง 3 m
Mmax = kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB40 kN6 m1 m3 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FBC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 40 kN
FBC = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABBCACACB50 kN15 kN8 m7 m4 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 7 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 50 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 15 kN ←
FAC = kN
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 29 kNABδ1.5 m0.5 m

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 1.5 m จาก A จงหาการโก่งตัว δB ที่ปลายอิสระ B

P = 29 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
P = 22 kNABδ2.5 m1.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 1.5 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัว δmid ที่กึ่งกลางช่วงคาน

P = 22 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 1 m20 × 40 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 3 md = 40 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm
σcr = MPa

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 49.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 30 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​6 m3 m1 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·10 = 30·6 + 35·9
RB = 495/10 = 49.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 49.5 = 15.5 kN

คำตอบ

RB = 49.5 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: MA = 55 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RA และโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ΣFy = 0 ให้ RA และโมเมนต์รอบผนังให้ MA = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

โมเมนต์รอบผนัง

MA = W·x̄ + P·a = 15·1.667 + 10·3 = 55 kN·m

คำตอบ

MA = 55 kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Vx = −35.63 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด แรงที่ส่วนยื่นก็ทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุด A ด้วย

ΣMA = 0: RB·8 = 45·4 + 70·9.5
RB = 845/8 = 105.6 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 105.6 = 9.375 kN

ตัดที่ตำแหน่งซ้ายของ B เล็กน้อยแล้วเก็บส่วนซ้ายไว้

Vx = RA − P1 = 9.375 − 45 = −35.63 kN

คำตอบ

Vx = −35.63 kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 30 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN กระทำที่ x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

แรงเฉือนเริ่มต้นที่ RA คงที่ตลอดส่วนที่ไม่มีแรงกระทำ และลดลงด้วยความชัน w ภายในแรงกระทำ

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 20/20 = 2 m

โมเมนต์สูงสุด

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 20·2 − 20·1²/2 = 30 kN·m

คำตอบ

Mmax = 30 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FBC = −12.96 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 6.667 = 33.33 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.667/0.5145 = −12.96 kN

คำตอบ

FBC = −12.96 kN (แรงอัด)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 9.063 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·7 − 15·4 → Cy = 36.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 36.25 = 13.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36.25/0.9701 = −37.37 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−37.37)·0.2425 = 9.063 kN

คำตอบ

FAC = 9.063 kN (แรงดึง)
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δB = 1.529 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวที่ปลายอิสระ

การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ

δP = Pa³/(3EI) = 1.02 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.00102 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.529 mm

คำตอบ

δB = 1.529 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmid = 15.23 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 22000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคาน

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1.76 × 10¹²) = 15.23 mm

คำตอบ

δmid = 15.23 mm
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 4.606 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4.606 kN

คำตอบ

Pcr = 4.606 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 30.71 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

คำตอบ

σcr = 30.71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis