การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P = 65 kNM = 20 kN·mABRB​ = ?5 m3 m2 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 8 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 5 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RB โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

L = 10 mP = 65 kN ที่ 8 mM = 20 kN·m (ตามเข็มนาฬิกา) ที่ 5 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m1 m4 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA

L = 10 mP = 50 kN ที่ 5 mw = 10 kN/m จาก 3 ถึง 6 m
RA = kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 10 kN/mP = 45 kNABหน้าตัด1 m4 m

คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 5 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 5 mP = 45 kN ที่ 5 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
5 kN/m50 kN15 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN @ 3 m5 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB20 kN4 m3 m2 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 4 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 20 kN
FAB = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABBCACACB15 kN25 kN6 m5 m4 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FBC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 5 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 15 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 25 kN →
FBC = kN
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 2 kN/mδL = 6 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 15 kN/mAB8 m

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว EI คงที่ จงหาแรงปฏิกิริยา RB ที่ค้ำยัน

L = 8 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2 m30 × 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 6 md = 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm
σcr = MPa

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 54 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

โมเมนต์รอบจุด A

ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: RB·10 − 65·8 − 20 = 0
RB = 540/10 = 54 kN

สมดุลในแนวดิ่ง

RA = 65 − 54 = 11 kN

คำตอบ

RB = 54 kN

แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 41.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​RB​3 m2 m1 m4 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·5 + 10·3·4.5
RB = 385/10 = 38.5 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 38.5 = 41.5 kN

คำตอบ

RA = 41.5 kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = −260 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

เก็บส่วนปลายอิสระไว้

P: −45·4 = −180 kN·m
w: −10·4²/2 = −80 kN·m
Mx = −180 − 80 = −260 kN·m

คำตอบ

Mx = −260 kN·m

ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 1 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 67.5 kN, R2 = 22.5 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −35, MD = −25, ME = −30, MF = −15, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: MB = −50 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAB = −9.014 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 15 = 5 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0.5547 = −9.014 kN

คำตอบ

FAB = −9.014 kN (แรงอัด)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FBC = −30.06 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 + 25·4 → Cy = 29.17 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 29.17 = −14.17 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −29.17/0.9701 = −30.06 kN

คำตอบ

FBC = −30.06 kN (แรงอัด)
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 4.688 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 4.688 mm

คำตอบ

δmax = 4.688 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: RB = 45 kN

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δload = wL⁴/(8EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน RB เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น RBL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

คำตอบ

RB = 45 kN
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 47.59 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1400² = 47586 N = 47.59 kN

คำตอบ

Pcr = 47.59 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 2.999 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2.999 MPa

คำตอบ

σcr = 2.999 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis