การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1 m2.5 m1.5 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 5 mP1 = 35 kN ที่ 1 mP2 = 15 kN ที่ 3.5 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
P = 40 kN, 40°Q = 55 kNABRA​ = ?0.5 m1 m2.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 0.5 m จาก A โดยเอียง 40° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 1.5 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม RA ที่หมุด A

L = 4 mP = 40 kN ที่ 0.5 m, θ = 40°Q = 55 kN ที่ 1.5 m
RA = kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
P1​ = 70 kNP2​ = 75 kNAB1 m3 m6 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 10 mP1 = 70 kN ที่ 1 mP2 = 75 kN ที่ 4 m
Mmax = kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
10 kN/m40 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

40 kN @ 12 m60 kN @ 4 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB55 kN6 m4 m2 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 2 mB อยู่ห่างจาก A 4 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 55 kN
FAC = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABCDEFGH10 kN15 kN10 kN10 kN4 × 3 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓F: 10 kN →
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 11 kNABδ4.5 m3.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 4.5 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 11 kNa = 4.5 mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 2 kN/mδL = 8 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2 md = 20 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 50 kNL = 3 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 50 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 50 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 17.5 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m2.5 m1.5 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 15·3.5
RB = 87.5/5 = 17.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17.5 = 32.5 kN

คำตอบ

RB = 17.5 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RA = 64.6 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

Pv = 40·sin 40° = 25.71 kN
Ph = 40·cos 40° = 30.64 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣMA = 0: RB·4 = 25.71·0.5 + 55·1.5 → RB = 23.84 kN
Ay = 25.71 + 55 − 23.84 = 56.87 kN
Ax = Ph = 30.64 kN

แรงลัพธ์ที่ A

RA = √(30.64² + 56.87²) = 64.6 kN

คำตอบ

RA = 64.6 kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 222 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

ΣMA = 0: RB·10 = 70·1 + 75·4
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 37 = 108 kN

โมเมนต์ใต้แต่ละแรง

เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้

ใต้ P1: M = RA·1 = 108·1 = 108 kN·m
ใต้ P2: M = RB·6 = 37·6 = 222 kN·m

ค่าที่มากที่สุด

Mmax = 222 kN·m (ใต้ P2)

คำตอบ

Mmax = 222 kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 50 kN, R2 = 130 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 80, MC = 120, MD = 0, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: ME = −160 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 36.67 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·4 → Cy = 36.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 36.67 = 18.33 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36.67/0.7071 = −51.85 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−51.85)·0.7071 = 36.67 kN

คำตอบ

FAC = 36.67 kN (แรงดึง)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน CG

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ G

FG และ GH อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง CG

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 21.56 kN (T), BC: 21.56 kN (T), CD: 14.69 kN (T), DE: 14.69 kN (T), FG: 18.13 kN (C), GH: 18.13 kN (C), AF: 19.27 kN (C), HE: 24.48 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 5.729 kN (C), HC: 5.729 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: CG
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 13.54 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 11000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·4500²·3500²/(3·8.4 × 10¹²·8000) = 13.54 mm

คำตอบ

δP = 13.54 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: Ireq = 68.57 × 10⁶ mm⁴

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·8000⁴/(384·70000·22.22) = 6.857 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 68.57 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ireq = 68.57 × 10⁶ mm⁴
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 7.91 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1400² = 7910 N = 7.91 kN

คำตอบ

Pcr = 7.91 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 56.17 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 56.17 mm

คำตอบ

d = 56.17 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 106.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis