การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?6 m2 m2 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 10 mP1 = 45 kN ที่ 6 mP2 = 15 kN ที่ 8 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w0​ = 20 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?1.5 m3.5 m

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งเป็นศูนย์ที่ผนังและเพิ่มขึ้นเป็น 20 kN/m ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 1.5 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ที่ผนัง

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 30 kN ที่ 1.5 m
MA = kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 2 kN/mABหน้าตัด2.5 m1.5 m

หาแรงเฉือน Vx ที่หน้าตัด x = 2.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 2.5 m
Vx = kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
10 kN10 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

10 kN @ 0 m10 kN @ 12 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB10 kN5 m2 m3 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 10 kN
FAB = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABCDEFGH30 kN10 kN40 kN30 kN4 × 4 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 30 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 19 kNABδ3 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 3 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 19 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 6 kN/mP = 19 kNδL = 4 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง

P = 19 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 5 md = 40 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 2 md = 30 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 30 mm
σcr = MPa

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 39 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​6 m2 m2 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·10 = 45·6 + 15·8
RB = 390/10 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 39 = 21 kN

คำตอบ

RB = 39 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: MA = 211.7 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RA และโมเมนต์ปฏิกิริยา MA ΣFy = 0 ให้ RA และโมเมนต์รอบผนังให้ MA = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

โมเมนต์รอบผนัง

MA = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 30·1.5 = 211.7 kN·m

คำตอบ

MA = 211.7 kN·m
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Vx = −1 kN

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN กระทำที่ x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 4RB​ = 4หน้าตัด2.5 m1.5 m

ตัดที่ x = 2.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

V = RA − (น้ำหนักบรรทุกลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด)
Vx = 4 − 2·2.5 = −1 kN

คำตอบ

Vx = −1 kN
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 43.33 kN, R2 = 31.67 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −20, MC = 46.67 kN·m, MD = 3.333, ME = −40, MF = −20, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: MC = 46.67 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAB = −7.211 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·2 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 4 = 6 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6/0.8321 = −7.211 kN

คำตอบ

FAB = −7.211 kN (แรงอัด)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 57.5 kN (T), BC: 57.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 52.5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 67.18 kN (C), HE: 74.25 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 24.75 kN (T), HC: 31.82 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 2.423 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 19000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 19000·3000²·1000²/(3·5.88 × 10¹²·4000) = 2.423 mm

คำตอบ

δP = 2.423 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 7.71 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 19000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δP = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·5.88 × 10¹²) = 4.308 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 3.401 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δmax = 4.308 + 3.401 = 7.71 mm

คำตอบ

δmax = 7.71 mm
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 9.922 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·5000 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9.922 kN

คำตอบ

Pcr = 9.922 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 38.86 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

คำตอบ

σcr = 38.86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis