การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด
ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน
บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
  2. วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣFx = 0 และ ΣFy = 0
  3. วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
  4. สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง
P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1 m0.5 m2.5 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 4 mP1 = 10 kN ที่ 1 mP2 = 10 kN ที่ 1.5 m
RB = kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m1 m1 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 4 mP = 30 kN ที่ 1 mw = 3 kN/m จาก 2 ถึง 3 m
RB = kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
w = 6 kN/mP = 20 kNAB2 m

คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 2 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด MA ที่จุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 2 mP = 20 kN ที่ 2 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 2 m
MA = kN·m
4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 10 kN/mP = 55 kNABหน้าตัด6 m1 m1 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 6 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 55 kN ที่ 7 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 6 m
Mx = kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง
ABBCACACB55 kN8 m1 m4 m

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง FAC ในชิ้นส่วน AC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 8 mความสูง = 4 mB อยู่ห่างจาก A 1 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 55 kN
FAC = kN
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก
ABCDEFGH25 kN35 kN40 kN35 kN4 × 4 m4 m

มีชิ้นส่วนหนึ่งเดียวของโครงถักนี้ที่ไม่รับแรงภายใต้โหลดเหล่านี้ ชิ้นส่วนใดคือชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์ คลิกที่มันในแผนภาพ

B: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 40 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1ชิ้นส่วน AB
  2. 2ชิ้นส่วน BC
  3. 3ชิ้นส่วน CD
  4. 4ชิ้นส่วน DE
  5. 5ชิ้นส่วน FG
  6. 6ชิ้นส่วน GH
  7. 7ชิ้นส่วน AF
  8. 8ชิ้นส่วน HE
  9. 9ชิ้นส่วน BF
  10. 10ชิ้นส่วน CG
  11. 11ชิ้นส่วน DH
  12. 12ชิ้นส่วน FC
  13. 13ชิ้นส่วน HC
7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 27 kNABδ3 m1 m

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 3 m จาก A จงหาการโก่งตัว δB ที่ปลายอิสระ B

P = 27 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.การแอ่นตัวของคานยาก
P = 23 kNABδ3 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 1 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัวสูงสุด δmax ของคาน

P = 23 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 105 kNL = 4 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 105 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 105 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 6.25 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1 m0.5 m2.5 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 10·1.5
RB = 25/4 = 6.25 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 6.25 = 13.75 kN

คำตอบ

RB = 6.25 kN
2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: RB = 9.375 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m1 m1 m1 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 3·1·2.5
RB = 37.5/4 = 9.375 kN
ΣFy = 0: RA = 33 − 9.375 = 23.63 kN

คำตอบ

RB = 9.375 kN
3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: MA = −52 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

เก็บส่วนปลายอิสระไว้

P: −20·2 = −40 kN·m
w: −6·2²/2 = −12 kN·m
MA = −40 − 12 = −52 kN·m

คำตอบ

MA = −52 kN·m

ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 101.3 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·7 + 10·8·4
RB = 705/8 = 88.13 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 88.13 = 46.88 kN
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = 46.88RB​ = 88.13หน้าตัด6 m1 m1 m

ตัดที่ x = 6 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 46.88·6 − 10·6·3 = 101.3 kN·m

คำตอบ

Mx = 101.3 kN·m
5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: FAC = 12.03 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 → Cy = 6.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 6.875 = 48.13 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.875/0.4961 = −13.86 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.86)·0.8682 = 12.03 kN

คำตอบ

FAC = 12.03 kN (แรงดึง)
6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: ชิ้นส่วน DH

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: ที่จุดต่อ แรงต้องสมดุลทุกทิศทาง ถ้าจุดต่อไม่มีโหลดและไม่มีจุดรองรับ และสองในสามชิ้นส่วนอยู่ในแนวเดียวกัน สมดุลขวางแนวนั้นเกี่ยวข้องกับชิ้นส่วนที่สามเท่านั้น แรงของมันจึงเป็นศูนย์ ถ้ามีเพียงสองชิ้นส่วนมาพบกันที่จุดต่อที่ไม่มีโหลดและไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ทั้งสองเป็นศูนย์

จุดต่อ D

CD และ DE อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจุดต่อไม่รับโหลด สมดุลแรงขวางแนวนั้นเหลือเพียง DH

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

ตรวจสอบด้วยวิธีจุดต่อ

การแก้ทุกจุดต่อให้แรงในชิ้นส่วนเหล่านี้ (T = แรงดึง, C = แรงอัด)

AB: 20 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 77.78 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 42.43 kN (T), HC: 7.071 kN (T)

คำตอบ

ชิ้นส่วนแรงเป็นศูนย์: DH
7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δB = 11.39 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 27000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวที่ปลายอิสระ

การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ

δP = Pa³/(3EI) = 7.594 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003797 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11.39 mm

คำตอบ

δB = 11.39 mm
8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 2.551 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

ตำแหน่งของค่าสูงสุด

ตั้งมุมลาดเอียงในช่วงที่ยาวกว่าเท่ากับศูนย์ จะได้ตำแหน่ง

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

ระยะแอ่นสูงสุด

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2.551 mm

คำตอบ

δmax = 2.551 mm
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 78.48 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

คำตอบ

Pcr = 78.48 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 60.05 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.05 mm

คำตอบ

d = 60.05 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 133.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis