การวิเคราะห์โครงสร้าง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

สมดุล: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์: M = F·d

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
ใช้ ΣF_y = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

วิธีจุดต่อ: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
วิธีหน้าตัด: ΣM = 0 about a cut point
แรงในชิ้นส่วน: บวก = แรงดึง ลบ = แรงอัด

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากโครงข่ายถักทั้งหมด
วิธีจุดต่อ: เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว และใช้ ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0
วิธีหน้าตัด: ตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการ และหาโมเมนต์รอบจุดที่ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าอื่นมาพบกัน
สมมติว่าเป็นแรงดึง คำตอบที่เป็นลบหมายความว่าเป็นแรงอัด

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่าย (หมุดที่ A ลูกกลิ้งที่ B) รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้น เพิ่มขึ้นจากศูนย์ที่ A เป็น 8 kN/m ที่ B จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับในแนวดิ่ง R_A

L = 5 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานยาก

คานยื่นยึดแน่นกับผนังที่ A รับแรงกระทำที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นซึ่งเป็นศูนย์ที่ผนังและเพิ่มขึ้นเป็น 8 kN/m ที่ปลายอิสระ B บวกแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จากผนัง จงหาขนาดของโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ที่ผนัง

L = 10 mw₀ = 8 kN/mP = 35 kN ที่ 6 m

M_A = kN·m

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 4.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

35 kN @ 12 m10 kN @ 4 m8 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อปานกลาง

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_BC ในชิ้นส่วน BC ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 6 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 2 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 45 kN

F_BC = kN

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อยาก

ใช้วิธีจุดต่อเพื่อหาแรง F_AB ในชิ้นส่วน AB ให้แรงดึงเป็นบวกและแรงอัดเป็นลบ

ช่วงกว้าง = 5 mความสูง = 3 mB อยู่ห่างจาก A 3 mน้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง = 20 kNน้ำหนักบรรทุกแนวนอน = 10 kN →

F_AB = kN

7.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.การแอ่นตัวของคานยาก

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว EI คงที่ จงหาขนาดของโมเมนต์ดัด M_A ที่ปลายยึดแน่น

L = 3 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 100 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 100 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: R_A = 6.667 kN

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3.333

R_B = 13.33 kN

R_A = 20 − 13.33 = 6.667 kN

คำตอบ

R_A = 6.667 kN

2.ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

คำตอบ: M_A = 476.7 kN·m

สมดุลของคานยื่น: จุดรองรับแบบยึดแน่นดันขึ้นได้และต้านการหมุนได้ด้วย จึงให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง R_A และโมเมนต์ปฏิกิริยา M_A ΣF_y = 0 ให้ R_A และโมเมนต์รอบผนังให้ M_A = Σ(แรง × ระยะจากผนัง) แรงกระทำแบบแผ่กระทำเป็นแรงลัพธ์ที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง

แรงลัพธ์ของแรงกระทำรูปสามเหลี่ยม

W = ½·8·10 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

โมเมนต์รอบผนัง

M_A = W·x̄ + P·a = 40·6.667 + 35·6 = 476.7 kN·m

คำตอบ

M_A = 476.7 kN·m

3.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 13.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

ตัดที่ x = 4.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 30·4.5 − 12·4.5·2.25 = 13.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 13.5 kN·m

4.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 39 kN, R₂ = 86 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 62, M_C = 92 kN·m, M_D = 70, M_E = 16, M_F = −70, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: M_C = 92 kN·m

5.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_BC = −25 kN

วิธีจุดต่อ: ทุกหมุดของโครงข่ายถักอยู่ในสมดุล ดังนั้น ΣF_x = 0 และ ΣF_y = 0 ที่แต่ละจุดต่อ เริ่มที่จุดต่อซึ่งมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าไม่เกินสองตัว ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายความว่าชิ้นส่วนรับแรงอัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

จุดต่อ C

ลูกกลิ้งให้เพียงปฏิกิริยาแนวดิ่ง จุดต่อ C จึงมีแรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าเพียงสองตัว สมมติให้ทั้งสองรับแรงดึง

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.6 = −25 kN

คำตอบ

F_BC = −25 kN (แรงอัด)

6.โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

คำตอบ: F_AB = −2.828 kN

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของโครงข่ายถักทั้งหมด โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 + 10·3 → C_y = 18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 18 = 2 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

จุดต่อ A

สมมติให้ทุกชิ้นส่วนรับแรงดึง (ดึงออกจากจุดต่อ) มีเพียง AB ที่มีองค์ประกอบแนวดิ่งที่ A

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2/0.7071 = −2.828 kN

คำตอบ

F_AB = −2.828 kN (แรงอัด)

7.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 35.45 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 35.45 mm

คำตอบ

δ_max = 35.45 mm

8.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: M_A = 5.625 kN·m

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δ_load = wL⁴/(8EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน R_B เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น R_BL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5.625 kN

โมเมนต์ที่ปลายยึดแน่น

โมเมนต์รอบ A ของแรงกระทำและแรงจากค้ำยัน

M_A = wL²/2 − R_B·L = 22.5 − 16.88 = 5.625 kN·m

คำตอบ

M_A = 5.625 kN·m

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 313.9 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·2000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

คำตอบ

P_cr = 313.9 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 70.91 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 70.91 mm

คำตอบ

d = 70.91 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 197.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis