AP Calculus alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.LimitlerZor

L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x² limitini bulun.

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = ln(x² + 4) olsun. f′(2)'i bulun.

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.TürevlerZor

f(x) = x³ + 3x² − 6 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 3x² − 6

x =

5.OptimizasyonOrta

1200 m²’lik dikdörtgen bir arsa dört kenarından çitle çevriliyor. Sokak boyunca uzanan x uzunluğundaki kenarın metresi €25, diğer üç kenarın metresi €12. Maliyeti en aza indiren sokak tarafı uzunluğu x değerini bulun.

A = 1200 m²€25/m€12/m

x = m

6.OptimizasyonZor

Küçük bir firma ürününü birim başına €60 sabit piyasa fiyatından satıyor. q birim üretmenin maliyeti C(q) = 14400 + 12q + 0,02q² avro. Kârı en büyük yapan üretim q değerini bulun.

p = €60C = 14400 + 12q + 0,02q²

q = birim

7.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = x

A =

9.Diferansiyel denklemlerOrta

460 °C’deki dövme çelik bir parça 23 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,01 min⁻¹ ile 23 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 460 °CT_a = 23 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 23 min

T = °C

10.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini y_max bulun.

y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ kuvvet serisi x₀ = 2 çevresindeki bir aralıkta yakınsar. Bu aralığın sol ucunu, x, bulun.

Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2

x =

12.Diziler ve serilerZor

f(x) = sin(−x) fonksiyonunun 5. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(2) değerini yaklaşık olarak bulun. P₅(2) değerini verin.

f(x) = sin(−x)n = 5x = 2

P₅(2) =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = 0,04979

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Logaritma alın

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

Hesaplayın

u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−1) = −3

Logaritmayı geri alın

L = e⁻³ = 0,04979

Cevap

L = 0,04979

2.Limitler

Cevap: L = 2

Birinci uygulama

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

İkinci uygulama

4·e^−2x/2

x = 0 koyun

L = 4·1/2 = 2

Cevap

L = 2

3.Türevler

Cevap: f′(2) = 0,5

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Yerine koyun

f′(2) = 4/8 = 0,5

Cevap

f′(2) = 0,5

4.Türevler

Cevap: x = −2

Türev

f′(x) = 3x² + 6x = 3·(x² + 2x)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −2 veya x = 0

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 6: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−2) = −6, f″(0) = 6

x = −2

Cevap

x = −2

5.Optimizasyon

Cevap: x = 27,9 m

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

x’in fonksiyonu olarak maliyet

C(x) = 37x + 28800/x

Türevi sıfıra eşitleyin

C″(x) = 57600/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.

x = √(28800/37) = 27,9 m

y = 1200/27,9 = 43,01 m

En küçük maliyet

C = 37·27,9 + 28800/27,9 = €2065

Cevap

x = 27,9 m

6.Optimizasyon

Cevap: q = 1200 birim

Kâr fonksiyonu

P(q) = 60q − (14400 + 12q + 0,02q²) = −0,02q² + 48q − 14400

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −0,04 < 0, yani bu bir maksimumdur.

48 − 0,04q = 0 → q = 1200

En büyük kâr

P = 48·1200 − 0,02·1200² − 14400 = €14400

Cevap

q = 1200

7.İntegraller

Cevap: I = 3,75

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Cevap

I = 3,75

8.İntegraller

Cevap: A = 0,6667

Kesişim noktaları

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Üst eksi alt integrali alın

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Cevap

A = 0,6667

9.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 370,2 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 23 + 437·e^−0,01t

t’yi yerine koyun

T(23) = 23 + 437·0,7945 = 370,2 °C

Cevap

T = 370,2 °C

10.Diferansiyel denklemler

Cevap: y_max = 6,539

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 5, r = −1,5 ± 4j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 4B = 0 → B = −1,875

Tepe

t = π/4 = 0,7854

y_max = 5·(1 + e^−1,5·π/4) = 6,539

Cevap

y_max = 6,539

11.Diziler ve seriler

Cevap: x = −0,7183

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Yarıçap

R = 2,718

Aralık

−0,7183 < x < 4,718

x = −0,7183

Cevap

x = −0,7183

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

12.Diziler ve seriler

Cevap: P₅(2) = −0,9333

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Maclaurin polinomu

P₅(x) = −x + 0,1667x³ − 0,008333x⁵

Yerine koyun

P₅(2) = −2 + 1,333333 − 0,266667 = −0,9333

Cevap

P₅(2) = −0,9333

Tam değer f(2) = −0,909297’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, 0,0240359, küçülür.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice