AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 27, 47, 20, 27, 54, 56, 19.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 40 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 524'ün altındadır?

μ = 500σ = 40x = 524

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,7k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 465,9 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 465,9 kg

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 42Σy = 148Σx² = 364Σy² = 4608Σxy = 1294

r =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 17 tahmin eder?

n = 5ŷ = 17

x =

9.Güven aralıklarıOrta

36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 12. 9 gözleme dayanan %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 36E₁ = 1290%n₂ = 9

E₂ =

10.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 10 milin çaplarının örneklem standart sapması 10,5 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 9 ile χ² dağılımının %2,5’i 2,7 değerinin altında, %2,5’i 19,023 değerinin üstündedir.

n = 10s = 10,5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

20 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −4,84 ve farkların standart sapması 5,7. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 20d̄ = −4,84s_d = 5,7

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 6 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 82,9’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 82,9σ = 6n = 36α = 0,01

β = %

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gündüz vardiyası, kusursuz” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.

satır toplamı = 99sütun toplamı = 66N = 183

E =

14.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 7 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 7

df =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,08

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 250/7 = 35,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + 11,29² + (−15,71)² + (−8,714)² + 18,29² + 20,29² + (−16,71)² = 1551

Standart sapma

s = √(1551/6) = 16,08

Cevap

s = 16,08

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7257

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Cevap

P = 0,7257

3.Olasılık

Cevap: σ = 0,9097

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,85

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,3 = 4,25

Varyans

Var(X) = 4,25 − 1,85² = 0,8275

σ = √0,8275 = 0,9097

Cevap

σ = 0,9097

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1715

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 126·0,7⁵·0,3⁴ = 126·0,1681·0,0081 = 0,1715

Cevap

P = 0,1715

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9332

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29,39 kg

Standartlaştırın

z = (465,9 − 510)/29,39 = −1,5

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9515

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Cevap

P = 0,9515

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9966

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1294 − 42·148/6 = 258

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4608 − 148²/6 = 957,3

Korelasyon katsayısı

r = 258/√(70·957,3) = 0,9966

Cevap

r = 0,9966

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,308

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Regresyon doğrusu

b = −26/10 = −2,6

a = 20,4 − (−2,6)·3 = 28,2

ŷ = 28,2 − 2,6·x

x için çözün

x = (17 − 28,2)/(−2,6) = 4,308

Cevap

x = 4,308

9.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 20,14

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/9) = 1,679

Yeni hata payı

E₂ = 12·1,679 = 20,14

Cevap

E₂ = 20,14

10.Güven aralıkları

Cevap: σ = 19,17 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 9·10,5² = 992,3

σ² için sınırlar

992,3/19,023 = 52,16

992,3/2,7 = 367,5

σ için sınır

σ = √367,5 = 19,17 µm

Cevap

σ = 19,17 µm

σ için %95 aralık: [7,222, 19,17] µm.

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,797

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 5,7/√20 = 1,275

Test istatistiği

t = −4,84/1,275 = −3,797

Cevap

t = −3,797

df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 28,3 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 80 + 2,326·1 = 82,33

Gerçek ortalama altında z

z = (82,33 − 82,9)/1 = −0,574

II. tip hata

güç = P(Z > −0,574) = 71,7%

β = 100% − 71,7% = 28,3%

Cevap

β = 28,3%

13.Ki-kare testleri

Cevap: E = 35,7

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekans

E = 99·66/183 = 35,7

Cevap

E = 35,7

14.Ki-kare testleri

Cevap: df = 6

Serbestlik derecesi

df = 7 − 1 = 6

Cevap

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice