AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 18, 10, 42, 53, 28.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 27,5'ün üstündedir?

μ = 50σ = 15x = 27,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,3, 0,05, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 108,2 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 48) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(4,5, 48)

e =

9.Güven aralıklarıOrta

25 birimlik bir örneklemin ortalaması 118 ve standart sapması s = 3,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 25x̄ = 118s = 3,590%t(24) = 1,711

alt sınır =

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 8E = 195%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 13 öğrenci, ortalama puan 91, standart sapma 5,5. Grup 2: 9 öğrenci, ortalama puan 85,5, standart sapma 9. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 13x̄₁ = 91s₁ = 5,5n₂ = 9x̄₂ = 85,5s₂ = 9

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 100 hastadan 55’i, B tedavisi alan 150 hastadan 101’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 101n₂ = 150

z =

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1602 × 3

χ² =

14.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 7 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 7

df =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,4

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 169/6 = 28,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−10,17)² + (−10,17)² + (−18,17)² + 13,83² + 24,83² + (−0,1667)² = 1345

Standart sapma

s = √(1345/5) = 16,4

Cevap

s = 16,4

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 2,3

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,2 + 25·0,25 = 11,3

Varyans

Var(X) = 11,3 − 3² = 2,3

Cevap

Var(X) = 2,3

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,015

X’in yayılımı

μ = 1,3, Var(X) = 1,01, σ_X = 1,005

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·1,005 = 3,015

Cevap

σ_Y = 3,015

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,3 − 3 = 0,9.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3085

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Cevap

P = 0,3085

6.Normal dağılım

Cevap: x = 26,95 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Cevap

x = 26,95 min

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9387

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 105/6 = 17,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 187,5

Belirlilik katsayısı

r² = −55,5²/(17,5·187,5) = 0,9387

Cevap

r² = 0,9387

y’deki değişimin yaklaşık %93,87’ı doğru tarafından açıklanır.

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4,5

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 315/6 = 52,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52,5

Regresyon doğrusu

b = 52,5/17,5 = 3

a = 52,5 − 3·4,5 = 39

ŷ = 39 + 3·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 39 + 3·4,5 = 52,5

Artık

e = 48 − 52,5 = −4,5

Cevap

e = −4,5

Nokta doğrunun altındadır.

9.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 116,8

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Hata payı

E = 1,711·3,5/√25 = 1,198

Aralık

118 ± 1,198 → [116,8, 119,2]

Cevap

alt sınır = 116,8

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 246

n'yi çözün

n = (1,96·8/1)² = 245,9

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 246

Cevap

n = 246

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,784

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (12·5,5² + 8·9²)/20 = 50,55

s_p = 7,11

Standart hata

SE = 7,11·√(1/13 + 1/9) = 3,083

Test istatistiği

t = (91 − 85,5)/3,083 = 1,784

Cevap

t = 1,784

df = 20 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,086; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −1,972

Örneklem oranları

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 101/150 = 0,6733

p̂ = 156/250 = 0,624

H₀ altında standart hata

SE = √(0,624·0,376·(1/100 + 1/150)) = 0,06253

Test istatistiği

z = (0,55 − 0,6733)/0,06253 = −1,972

Cevap

z = −1,972

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

13.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 1,886

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

kentsel: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

kırsal: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21

Ki-kare istatistiği

χ² = (23 − 20)²/20 + (45 − 45)²/45 + (32 − 35)²/35 + (9 − 12)²/12 + (27 − 27)²/27 + (24 − 21)²/21

χ² = 1,886

Cevap

χ² = 1,886

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

14.Ki-kare testleri

Cevap: df = 5

Serbestlik derecesi

df = 7 − 1 − 1 = 5

Cevap

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice