AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 46, 34, 33, 37, 31, 26.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 82,5'ün üstündedir?

μ = 70σ = 10x = 82,5

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 3 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

3 / 7

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0418 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0418

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 53) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(4,5, 53)

e =

9.Güven aralıklarıOrta

20 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması −9,6 ve standart sapması 5,9. Ortalama fark için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 20d̄ = −9,6s_d = 5,995%t(19) = 2,093

alt sınır = mmHg

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 28. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 28E = 199%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 100,9, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 100,9s = 4n = 81

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 30 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 68.6’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 68,6σ = 30n = 100α = 0,01

1 − β = %

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 2202 × 2

χ² =

14.Ki-kare testleriZor

2 satır ve 5 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

2 × 5

df =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,716

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 207/6 = 34,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 11,5² + (−0,5)² + (−1,5)² + 2,5² + (−3,5)² + (−8,5)² = 225,5

Standart sapma

s = √(225,5/5) = 6,716

Cevap

s = 6,716

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1056

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Cevap

P = 0,1056

3.Olasılık

Cevap: P = 0,06667

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Cevap

P = 0,06667

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 11,52

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 2,7, Var(X) = 5,31, σ_X = 2,304

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·2,304 = 11,52

Cevap

σ_Y = 11,52

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·2,7 + 4 = 17,5.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,73

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0418 = 0,9582

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9582 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,73

Cevap

z = 1,73

6.Normal dağılım

Cevap: x = 37,05 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Cevap

x = 37,05 min

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9024

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 93,2

Belirlilik katsayısı

r² = −29²/(10·93,2) = 0,9024

Cevap

r² = 0,9024

y’deki değişimin yaklaşık %90,24’ı doğru tarafından açıklanır.

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,829

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 366/6 = 61

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73

Regresyon doğrusu

b = 73/17,5 = 4,171

a = 61 − 4,171·5,5 = 38,06

ŷ = 38,06 + 4,171·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 38,06 + 4,171·4,5 = 56,83

Artık

e = 53 − 56,83 = −3,829

Cevap

e = −3,829

Nokta doğrunun altındadır.

9.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −12,36 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 19, t = 2,093

Hata payı

E = 2,093·5,9/√20 = 2,761

Aralık

−9,6 ± 2,761 → [−12,36, −6,839]

Cevap

alt sınır = −12,36 mmHg

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 5203

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·28/1)² = 5202

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 5203

Cevap

n = 5203

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,025

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Test istatistiği

t = (100,9 − 100)/0,4444 = 2,025

Cevap

t = 2,025

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 92,98 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 80 − 2,326·3 = 73,02

Gerçek ortalama altında z

z = (73,02 − 68,6)/3 = 1,474

Güç

güç = P(Z < 1.474) = 92.98%

1 − β = 92,98%

Cevap

1 − β = 92,98%

13.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 16,67

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

erkekler: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45

kadınlar: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54

Ki-kare istatistiği

χ² = (40 − 55)²/55 + (60 − 45)²/45 + (81 − 66)²/66 + (39 − 54)²/54

χ² = 16,67

Cevap

χ² = 16,67

sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.

14.Ki-kare testleri

Cevap: df = 4

Serbestlik derecesi

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Cevap

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice