AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 36, 51, 16, 45, 25, 54.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 50 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 20x = 50

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,4k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9342 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9342

z =

6.Normal dağılımZor

1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 70Σx² = 220Σy² = 1170Σxy = 504

r =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 1,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 1,5

ŷ =

9.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 56,5 ve standart sapması s = 1. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 20x̄ = 56,5s = 195%t(19) = 2,093

E =

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 9. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 9E = 2,590%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 12 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 251,28. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ ≠ 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 12n = 144x̄ = 251,28H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 2,5σ = 8z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1002 × 2

χ² =

14.Ki-kare testleriZor

2 satır ve 2 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

2 × 2

df =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,29

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 247/7 = 35,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−15,29)² + 0,7143² + 15,71² + (−19,29)² + 9,714² + (−10,29)² + 18,71² = 1403

Standart sapma

s = √(1403/6) = 15,29

Cevap

s = 15,29

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Standartlaştırın

z = (50 − 70)/20 = −1

Cevap

z = −1

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,9275

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 = 1,15

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 = 2,25

Varyans

Var(X) = 2,25 − 1,15² = 0,9275

Cevap

Var(X) = 0,9275

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3456

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 10·0,4²·0,6³ = 10·0,16·0,216 = 0,3456

Cevap

P = 0,3456

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,84

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9342)/2 = 0,9671

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9671 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,84

Cevap

z = 1,84

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/10 = −1

Olasılık

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9635

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 504 − 30·70/5 = 84

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1170 − 70²/5 = 190

Korelasyon katsayısı

r = 84/√(40·190) = 0,9635

Cevap

r = 0,9635

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 21,8

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Regresyon doğrusu

b = −20/10 = −2

a = 18,8 − (−2)·3 = 24,8

ŷ = 24,8 − 2·x

Tahmin

ŷ = 24,8 + (−2)·1,5 = 21,8

Cevap

ŷ = 21,8

9.Güven aralıkları

Cevap: E = 0,468

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Hata payı

E = 2,093·1/√20 = 0,468

Cevap

E = 0,468

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 36

n'yi çözün

n = (1,645·9/2,5)² = 35,07

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 36

Cevap

n = 36

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,2005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (251,28 − 250)/1 = 1,28

Kuyruk alanı

Φ(1,28) = 0,8997

1 − Φ(1,28) = 0,1003

p-değeri

p = 2·0,1003 = 0,2005

Cevap

p = 0,2005

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 64

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·8/2,5)² = 63,34

Yukarı yuvarlayın

n = 64

Cevap

n = 64

13.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 1,786

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

sigara içenler: 40·30/100 = 12, 40·70/100 = 28

sigara içmeyenler: 60·30/100 = 18, 60·70/100 = 42

Ki-kare istatistiği

χ² = (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42

χ² = 1,786

Cevap

χ² = 1,786

sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

14.Ki-kare testleri

Cevap: df = 1

Serbestlik derecesi

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Cevap

df = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice