Kalkülüs 1: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (x³ + 3x − 5)/(5x³ + 5x + 5) limitini bulun.

f(x) = (x³ + 3x − 5)/(5x³ + 5x + 5)x → ∞

L =

2.LimitlerZor

L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x² limitini bulun.

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = ln(3x² + 5) olsun. f′(−1)'i bulun.

f(x) = ln(3x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.TürevlerZor

f(x) = 2x² − 4 fonksiyonunun x = −1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 2x² − 4x = −1

b =

5.OptimizasyonOrta

800 m²’lik dikdörtgen bir arsa dört kenarından çitle çevriliyor. Sokak boyunca uzanan x uzunluğundaki kenarın metresi €25, diğer üç kenarın metresi €12. En küçük toplam maliyet C değerini bulun.

A = 800 m²€25/m€12/m

C = €

6.OptimizasyonZor

Bir şirket haftada q birim satıyor. Bunları satabileceği fiyat birim başına p = 100 − 0,25q avro ve maliyet C(q) = 500 + 70q avro. Kârı en büyük yapan haftalık üretim q değerini bulun.

p = 100 − 0,25qC = 500 + 70q

q = birim

7.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = 2x

A =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = 0,2

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

En yüksek kuvvete bölün

(1 + 3/x² + (−5)/x³)/(5 + 5/x² + 5/x³)

x → ∞ alın

L = 1/5 = 0,2

Cevap

L = 0,2

Dereceler eşitse limit baş katsayıların oranıdır.

2.Limitler

Cevap: L = 2

Birinci uygulama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

İkinci uygulama

4·e^2x/2

x = 0 koyun

L = 4·1/2 = 2

Cevap

L = 2

3.Türevler

Cevap: f′(−1) = −0,75

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Yerine koyun

f′(−1) = −6/8 = −0,75

Cevap

f′(−1) = −0,75

4.Türevler

Cevap: b = −6

Nokta ve eğim

f(−1) = −2

f′(x) = 4x → f′(−1) = −4

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−1) = −6

Cevap

b = −6

5.Optimizasyon

Cevap: C = 1686 €

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

x’in fonksiyonu olarak maliyet

C(x) = 37x + 19200/x

Türevi sıfıra eşitleyin

C″(x) = 38400/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.

x = √(19200/37) = 22,78 m

y = 800/22,78 = 35,12 m

En küçük maliyet

C = 37·22,78 + 19200/22,78 = €1686

Cevap

C = €1686

6.Optimizasyon

Cevap: q = 60 birim

Kâr fonksiyonu

P(q) = (100 − 0,25q)·q − (500 + 70q) = −0,25q² + 30q − 500

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −0,5 < 0, yani bu bir maksimumdur.

q = 30/0,5 = 60

Fiyat ve kâr

p = 100 − 0,25·60 = €85

P = 30·60 − 0,25·60² − 500 = €400

Cevap

q = 60

7.İntegraller

Cevap: I = 3,75

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Cevap

I = 3,75

8.İntegraller

Cevap: A = 0,3333

Kesişim noktaları

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Cevap

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1