Kalkülüs 1: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (√(9x² − 2x) − 3x) limitini bulun.

f(x) = √(9x² − 2x) − 3xx → ∞

L =

2.LimitlerZor

x radyan cinsinden olmak üzere L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x) limitini bulun.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(x) olsun, x radyan cinsinden. f′(0,5)'i bulun.

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.TürevlerZor

f(x) = x³ − 3x + 5 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 3x + 5

x =

5.OptimizasyonOrta

Kapalı (üstü ve altı olan) silindirik bir kutu 250 cm³ almalıdır. Kullanılan metal toplam yüzey alanıyla orantılıdır. En az malzemeyi kullanan yarıçap r değerini bulun.

V = 250 cm³

r = cm

6.OptimizasyonZor

Bir şirket haftada q birim satıyor. Bunları satabileceği fiyat birim başına p = 190 − 1q avro ve maliyet C(q) = 500 + 135q avro. Kârı en büyük yapan fiyat p değerini bulun.

p = 190 − 1qC = 500 + 135q

p = €

7.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ e^−0,5x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

8.İntegrallerZor

y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 4 − x²

A =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = −0,3333

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Eşlenikle çarpın

f(x) = −2x/(√(9x² − 2x) + 3x)

x’e bölün

f(x) = −2/(√(9 + (−2)/x) + 3)

x → ∞ alın

L = −2/(3 + 3) = −0,3333

Cevap

L = −0,3333

2.Limitler

Cevap: L = 3

L'Hôpital kuralı

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

x = 0 koyun

L = 3/1 = 3

Cevap

L = 3

3.Türevler

Cevap: f′(0.5) = 0,9182

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Yerine koyun

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Cevap

f′(0,5) = 0,9182

4.Türevler

Cevap: x = 1

Türev

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −1 veya x = 1

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

Cevap

x = 1

5.Optimizasyon

Cevap: r = 3,414 cm

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

r’nin fonksiyonu olarak alan

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Türevi sıfıra eşitleyin

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, yani bu bir minimumdur.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Yükseklik ve alan

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Cevap

r = 3,414 cm

En ucuz kapalı kutunun yüksekliği çapına eşittir: h = 2r.

6.Optimizasyon

Cevap: p = 162,5 €

Kâr fonksiyonu

P(q) = (190 − 1q)·q − (500 + 135q) = −q² + 55q − 500

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −2 < 0, yani bu bir maksimumdur.

q = 55/2 = 27,5

Fiyat ve kâr

p = 190 − 1·27,5 = €162,5

P = 55·27,5 − 1·27,5² − 500 = €256,3

Cevap

p = €162,5

7.İntegraller

Cevap: I = 0,7869

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Sınırları yerine koyun

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Cevap

I = 0,7869

8.İntegraller

Cevap: A = 10,67

Sıfırlar

4 − x² = 0 → x = ±2

İntegral alın

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Cevap

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1