Kalkülüs 1: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x) limitini bulun.

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.LimitlerZor

L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x² limitini bulun.

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(2x) olsun, x radyan cinsinden. f′(1)'i bulun.

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TürevlerZor

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2

x =

5.OptimizasyonOrta

Kare tabanlı açık (kapaksız) bir kutu 32000 cm³ almalıdır. Mümkün olan en az malzemeyi, yani tabanla dört yan yüzün en küçük alanını kullanın. Yükseklik h değerini bulun.

V = 32000 cm³

h = cm

6.OptimizasyonZor

Bir şirket haftada q birim satıyor. Bunları satabileceği fiyat birim başına p = 70 − 0,1q avro ve maliyet C(q) = 900 + 40q avro. En büyük haftalık kâr P değerini bulun.

p = 70 − 0,1qC = 900 + 40q

P = €

7.İntegrallerOrta

I = ∫₀² e^x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

8.İntegrallerZor

y = 9 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 9 − x²

A =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = −2,5

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Eşlenikle çarpın

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

x’e bölün

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

x → ∞ alın

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Cevap

L = −2,5

2.Limitler

Cevap: L = 0,5

Birinci uygulama

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

İkinci uygulama

1·e^x/2

x = 0 koyun

L = 1·1/2 = 0,5

Cevap

L = 0,5

3.Türevler

Cevap: f′(1) = 0,077

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Yerine koyun

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Cevap

f′(1) = 0,077

4.Türevler

Cevap: x = −1

Türev

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −1 veya x = 3

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 6: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

Cevap

x = −1

5.Optimizasyon

Cevap: h = 20 cm

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

x’in fonksiyonu olarak alan

S(x) = x² + 128000/x

Türevi sıfıra eşitleyin

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Yükseklik ve alan

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Cevap

h = 20 cm

En iyi açık kutunun yüksekliği genişliğinin yarısıdır.

6.Optimizasyon

Cevap: P = 1350 €

Kâr fonksiyonu

P(q) = (70 − 0,1q)·q − (900 + 40q) = −0,1q² + 30q − 900

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −0,2 < 0, yani bu bir maksimumdur.

q = 30/0,2 = 150

Fiyat ve kâr

p = 70 − 0,1·150 = €55

P = 30·150 − 0,1·150² − 900 = €1350

Cevap

P = €1350

7.İntegraller

Cevap: I = 6,389

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^x/1

Sınırları yerine koyun

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Cevap

I = 6,389

8.İntegraller

Cevap: A = 36

Sıfırlar

9 − x² = 0 → x = ±3

İntegral alın

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Cevap

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1