Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
L = limx→∞ (1 − 1/x)3x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.
L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x² limitini bulun.
f(x) = ln(3x2 + 4) olsun. f′(1)'i bulun.
f(x) = 2x2 + 4x + 5 fonksiyonunun x = −2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
Kapalı (üstü ve altı olan) silindirik bir kutu 330 cm³ almalıdır. Kullanılan metal toplam yüzey alanıyla orantılıdır. En az malzemeyi kullanan kutunun yüksekliği h değerini bulun.
Bir şirket haftada q birim satıyor. Bunları satabileceği fiyat birim başına p = 120 − 1q avro ve maliyet C(q) = 200 + 85q avro. Kârı en büyük yapan fiyat p değerini bulun.
y = √(x) eğrisinin altında, x = 0’dan x = 4’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir paraboloit) hacmini V bulun.
y = 2x2 ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
Cevap: L = 0,04979
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.
Cevap: L = 0,125
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
Cevap: f′(1) = 0,8571
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: b = −3
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: h = 7,49 cm
Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.
A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, yani bu bir minimumdur.
En ucuz kapalı kutunun yüksekliği çapına eşittir: h = 2r.
Cevap: p = 102,5 €
Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.
P″(q) = −2 < 0, yani bu bir maksimumdur.
Cevap: V = 25,13
Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.
Cevap: A = 0,3333
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1