Kalkülüs 1: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Limitler

Doğrudan yerine koyma: önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler: x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
L'Hôpital kuralı: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Optimizasyon

Yöntem: Q(x)’i tek değişkenle yazın, Q′(x) = 0’ı çözün, Q″’yü veya uç noktaları kontrol edin
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Kapalı silindir: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Kâr: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

2Alıştırma soruları

1.LimitlerOrta

L = lim_x→∞ (−6x³ − 4x + 4)/(3x³ + 3x + 6) limitini bulun.

f(x) = (−6x³ − 4x + 4)/(3x³ + 3x + 6)x → ∞

L =

2.LimitlerZor

x radyan cinsinden olmak üzere L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²) limitini bulun.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(x) olsun, x radyan cinsinden. f′(1)'i bulun.

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TürevlerZor

f(x) = 2x² fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 2x²x = 1

b =

5.OptimizasyonOrta

200 m²’lik dikdörtgen bir arsa dört kenarından çitle çevriliyor. Sokak boyunca uzanan x uzunluğundaki kenarın metresi €20, diğer üç kenarın metresi €5. En küçük toplam maliyet C değerini bulun.

A = 200 m²€20/m€5/m

C = €

6.OptimizasyonZor

Küçük bir firma ürününü birim başına €80 sabit piyasa fiyatından satıyor. q birim üretmenin maliyeti C(q) = 6100 + 16q + 0,05q² avro. En büyük kâr P değerini bulun.

p = €80C = 6100 + 16q + 0,05q²

P = €

7.İntegrallerOrta

I = ∫₀³ e^−x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

8.İntegrallerZor

y = 1 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 1 − x²

A =

3Çözeltiler

1.Limitler

Cevap: L = −2

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

En yüksek kuvvete bölün

(−6 + (−4)/x² + 4/x³)/(3 + 3/x² + 6/x³)

x → ∞ alın

L = −6/3 = −2

Cevap

L = −2

Dereceler eşitse limit baş katsayıların oranıdır.

2.Limitler

Cevap: L = 4,167

Birinci uygulama

5·sin 5x/(6x) → 0/0

İkinci uygulama

25·cos 5x/6

x = 0 koyun

L = 25/6 = 4,167

Cevap

L = 4,167

3.Türevler

Cevap: f′(1) = 1,382

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Yerine koyun

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Cevap

f′(1) = 1,382

4.Türevler

Cevap: b = −2

Nokta ve eğim

f(1) = 2

f′(x) = 4x → f′(1) = 4

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 4·1 = −2

Cevap

b = −2

5.Optimizasyon

Cevap: C = 447,2 €

Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.

x’in fonksiyonu olarak maliyet

C(x) = 25x + 2000/x

Türevi sıfıra eşitleyin

C″(x) = 4000/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.

x = √(2000/25) = 8,944 m

y = 200/8,944 = 22,36 m

En küçük maliyet

C = 25·8,944 + 2000/8,944 = €447,2

Cevap

C = €447,2

6.Optimizasyon

Cevap: P = 14380 €

Kâr fonksiyonu

P(q) = 80q − (6100 + 16q + 0,05q²) = −0,05q² + 64q − 6100

Türevi sıfıra eşitleyin

P″(q) = −0,1 < 0, yani bu bir maksimumdur.

64 − 0,1q = 0 → q = 640

En büyük kâr

P = 64·640 − 0,05·640² − 6100 = €14380

Cevap

P = €14380

7.İntegraller

Cevap: I = 0,9502

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^−x/(−1)

Sınırları yerine koyun

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Cevap

I = 0,9502

8.İntegraller

Cevap: A = 1,333

Sıfırlar

1 − x² = 0 → x = ±1

İntegral alın

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Cevap

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1