Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
L = limx→∞ (1 + 2/x)x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.
x radyan cinsinden olmak üzere L = limx→0 (1 − cos 5x)/(2x²) limitini bulun.
f(x) = x·sin(3x) olsun, x radyan cinsinden. f′(0,5)'i bulun.
f(x) = x3 + 10,5x2 + 36x − 5 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.
Kare tabanlı açık (kapaksız) bir kutu 4000 cm³ almalıdır. Mümkün olan en az malzemeyi, yani tabanla dört yan yüzün en küçük alanını kullanın. Yükseklik h değerini bulun.
Küçük bir firma ürününü birim başına €75 sabit piyasa fiyatından satıyor. q birim üretmenin maliyeti C(q) = 300 + 38q + 0,5q² avro. En büyük kâr P değerini bulun.
I = ∫26 4/x dx'i hesaplayın.
y = 0,5x2 ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
Cevap: L = 7,389
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.
Cevap: L = 6,25
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
Cevap: f′(0.5) = 1,104
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: x = −3
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
f″(x) = 6x + 21: maksimumda negatif, minimumda pozitif.
Cevap: h = 10 cm
Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.
S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, yani bu bir minimumdur.
En iyi açık kutunun yüksekliği genişliğinin yarısıdır.
Cevap: P = 384,5 €
Optimizasyon: optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak diğer değişkeni yok edip tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın. Türevi sıfıra eşitleyip çözün. Kritik noktanın maksimum veya minimum olduğunu (ikinci türev veya birinci türevin işaret değişimi) ve izin verilen aralıkta bulunduğunu kontrol edin; sıfır kenar uzunluğu gibi bir uç nokta cevap değildir.
P″(q) = −1 < 0, yani bu bir maksimumdur.
Cevap: I = 4,394
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Cevap: A = 18
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1