Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx'i hesaplayın.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
2.İntegrallerZor
y = 2x2 ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 2x2y = 3x
A =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.
A: Σ (4/3)ᵏB: Σ (k + 5)/k²C: Σ k!/2ᵏD: Σ k/5ᵏ
1A: Σ (4/3)ᵏ
2B: Σ (k + 5)/k²
3C: Σ k!/2ᵏ
4D: Σ k/5ᵏ
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = e2x fonksiyonunun 3. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(1,2) değerini yaklaşık olarak bulun. P₃(1,2) değerini verin.
f(x) = e2xn = 3x = 1,2
P₃(1.2) =
5.Çok değişkenli analizOrta
z = ln(x² + 4y²), x = −2t + 2 ve y = 2t² + 2. t = 0 anında dz/dt değerini bulmak için zincir kuralını kullanın.
z = ln(x² + 4y²)x = −2t + 2y = 2t² + 2t = 0
dz/dt =
6.Çok değişkenli analizZor
I = ∬R (x² + y²) dA integralini hesaplamak için kutupsal koordinatları kullanın; burada R: x² + y² ≤ 9 diski.
f = x² + y²0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
80 °C’deki bir fincan kahve 18 °C’deki bir odada bırakılıyor. 22 dakika sonra sıcaklığı 35 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 27 °C’ye ulaşır?
T0 = 80 °CTa = 18 °CT(22) = 35 °CT = 27 °C
t = min
8.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = 2 koşuluyla y′ + y/x = 3 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.
y′ + y/x = 3y(1) = 2
y(3) =
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 156
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Değişken değiştirme
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du
İntegral alın ve sınırları koyun
I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156
Cevap
I = 156
2.İntegraller
Cevap: A = 1,125
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
2x2 = 3x → x = 0, x = 1,5
Üst eksi alt integrali alın
A = [1,5x2 − 0,6667x3]01,5 = 1,125
Cevap
A = 1,125
3.Diziler ve seriler
Cevap: D: Σ k/5ᵏ
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Her seriyi sınayın
A: Σ (4/3)ᵏ → r = 4/3 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
B: Σ (k + 5)/k² → Büyük k için 1/k gibi davranır: harmonik seriyle karşılaştırmayla ıraksar.
C: Σ k!/2ᵏ → Oran testi: L = lim (k + 1)/2 = ∞, ıraksar.
D: Σ k/5ᵏ → Oran testi: L = 1/5 < 1, yakınsar.
Cevap
D: Σ k/5ᵏ
Cevap
D: Σ k/5ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: P₃(1.2) = 8,584
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Maclaurin polinomu
P₃(x) = 1 + 2x + 2x² + 1,333x³
Yerine koyun
P₃(1,2) = 1 + 2,4 + 2,88 + 2,304 = 8,584
Cevap
P₃(1,2) = 8,584
Tam değer f(1,2) = 11,023176’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, 2,439176, küçülür.
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: dz/dt = −0,4
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Nokta ve hızlar
x(0) = 2, y(0) = 2
dx/dt = −2, dy/dt = 4t = 0
Kısmi türevler
fx = 2x/(x² + 4y²) = 0,2
fy = 8y/(x² + 4y²) = 0,8
Zincir kuralı
dz/dt = 0,2·(−2) + 0,8·0 = −0,4
Cevap
dz/dt = −0,4
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: I = 127,2
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Kutupsal biçim
I = ∫02π ∫03 r²·r dr dθ
İntegral alın
∫ r²·r dr = [r⁴/4]
I = 127,2
Cevap
I = 127,2
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 32,81 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(62/17)/22 = 0,05881 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(62/9)/0,05881 = 32,81 min
Cevap
t = 32,81 min
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(3) = 4,667
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.