Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
y = x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 1’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.
y = x0 ≤ x ≤ 1
V =
2.İntegrallerZor
y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 4 − x²
A =
3.Diziler ve serilerOrta
Σk=1∞ k·2ᵏ/5ᵏ serisine oran testini uygulayın. L = lim |ak+1/ak| değerini bulun.
ak = k·2ᵏ/5ᵏ
L =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = e−x fonksiyonunun a = −1 civarındaki Taylor serisinde (x + 1)⁴ teriminin katsayısını, c₄, bulun.
f(x) = e−xa = −1k = 4
c₄ =
5.Çok değişkenli analizOrta
z = 2 sin(−2x − y) yüzeyine (x, y) = (2, 2) noktasındaki teğet düzlem z = px + qy + c olarak yazılabilir. c değerini bulun.
y″ + 7y′ + 10y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -4 ile çözün. y(1) değerini bulun.
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = -4
y(1) =
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + y′ + 16,25y = 32,5 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(1,5) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.
y″ + y′ + 16,25y = 32,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: V = 1,047
Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.
Disk yöntemi
V = π∫₀1 1x² dx
İntegral alın
V = π·1·1³/3 = 1,047
Cevap
V = 1,047
Kontrol: yarıçapı 1, yüksekliği 1 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 1,047.
2.İntegraller
Cevap: A = 10,67
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Sıfırlar
4 − x² = 0 → x = ±2
İntegral alın
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Cevap
A = 10,67
3.Diziler ve seriler
Cevap: L = 0,4
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Ardışık terimlerin oranı
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·2/5 → 2/5
Sonuç
L = 0,4 < 1
Cevap
L = 0,4
L < 1; bu yüzden seri yakınsar.
4.Diziler ve seriler
Cevap: c₄ = 0,1133
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = (−1)⁴·e−x
Katsayı
c₄ = (−1)⁴·e1/4! = 0,1133
c₄ = 0,1133
Cevap
c₄ = 0,1133
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: c = 12,08
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Noktadaki değer ve eğimler
f(2, 2) = 0,5588
fx = −4 cos(−2x − y) → fx(2, 2) = −3,841
fy = −2 cos(−2x − y) → fy(2, 2) = −1,92
Teğet düzlem
z = 0,5588 − 3,841(x − 2) − 1,92(y − 2)
z = −3,841x − 1,92y + 12,08
Sabit terim
c = 12,08
Cevap
c = 12,08
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: B (0, 0)
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Kritik noktalar
fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün.
fx = 4x³ − 4y = 0
fy = 4y³ − 4x = 0
(0, 0), (1, 1), (−1, −1)
İkinci türev testi
(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −4, D = −16 → eyer noktası
(1, 1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → yerel minimum
(−1, −1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → yerel minimum
Nokta
B (0, 0): eyer noktası
Cevap
B (0, 0)
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1) = 0,9339
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Karakteristik kökler
(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5
Başlangıç değerlerinden sabitler
A + B = 5, −2A − 5B = -4
A = 7, B = −2
Hesaplayın
y(1) = 7·e−2 + (−2)·e−5 = 0,9339
Cevap
y(1) = 0,9339
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1.5) = 1,126
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.