Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₀^π/2 x·cos x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

2.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

S = Σ_k=1²⁷ 2/(k(k + 1)) toplamını bulun.

a_k = 2/(k(k + 1))n = 27

S =

4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0,25ᵏ/k.

a_k = (−1)^k+1·0,25ᵏ/k

S =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² − 4xy için (2, 1) noktasında f’nin en büyük değişim hızını, yani |∇f| değerini, bulun.

f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² − 4xyP = (2, 1)

|∇f| =

6.Çok değişkenli analizZor

İşaretli noktalar f(x, y) = x³ + y³ − 9xy fonksiyonunun kritik noktalarıdır. Eyer noktasına tıklayın.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy

1A (0, 0)
2B (3, 3)

7.Diferansiyel denklemlerOrta

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 23 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,07 min⁻¹ ile 14 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 14 min

T = °C

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 3 koşuluyla y′ + 3y/x = 5 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 5y(1) = 3

y(2) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 0,5708

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

İlkel fonksiyon

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limitler

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Cevap

I = 0,5708

2.İntegraller

Cevap: A = 5,333

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Cevap

A = 5,333

3.Diziler ve seriler

Cevap: S = 1,929

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

2/(k(k + 1)) = 2·(1/k − 1/(k + 1))

İptal

S = 2·(1 − 1/28) = 1,929

Cevap

S = 1,929

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = 0,2231

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

Yerine koyun

x = 0,25

S = ln 1,25 = 0,2231

Cevap

S = 0,2231

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: |∇f| = 36,88

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Kısmi türevler

f_x = 2xy² − 9x² − 4y → f_x(2, 1) = −36

f_y = 2x²y + 8y − 4x → f_y(2, 1) = 8

Gradyanın uzunluğu

|∇f| = √((−36)² + 8²) = 36,88

Cevap

|∇f| = 36,88

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: A (0, 0)

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kritik noktalar

f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün.

f_x = 3x² − 9y = 0

f_y = 3y² − 9x = 0

(0, 0), (3, 3)

İkinci türev testi

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −9, D = −81 → eyer noktası

(3, 3): f_xx = 18, f_yy = 18, f_xy = −9, D = 243 → yerel minimum

Nokta

A (0, 0): eyer noktası

Cevap

A (0, 0)

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 16,62 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 23 + (−17)·e^−0,07t

t’yi yerine koyun

T(14) = 23 + (−17)·0,3753 = 16,62 °C

Cevap

T = 16,62 °C

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 2,719

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = 5x³ → x³y = 5x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

3 = 5/4 + C → C = 1,75

Hesaplayın

y(2) = (5·2⁴/4 + 1,75)/2³ = 2,719

Cevap

y(2) = 2,719

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2