Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₁² x·ln x dx değerini hesaplayın.

∫₁² x ln x dx

I =

2.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ serisine oran testini uygulayın. L = lim |a_k+1/a_k| değerini bulun.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/k!.

a_k = (−1)ᵏ/k!

S =

5.Çok değişkenli analizOrta

z = y·e^2xy yüzeyine (x, y) = (1, 0,5) noktasındaki teğet düzlem z = px + qy + c olarak yazılabilir. c değerini bulun.

f(x, y) = y·e^2xy(a, b) = (1, 0,5)

c =

6.Çok değişkenli analizZor

İşaretli noktalar f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y fonksiyonunun kritik noktalarıdır. Yerel maksimuma tıklayın.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y

1A (1, 2)
2B (−1, 2)

7.Diferansiyel denklemlerOrta

480 °C’deki dövme çelik bir parça 27 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,04 min⁻¹ ile 37 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 480 °CT_a = 27 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 37 min

T = °C

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 0 koşuluyla y′ + 3y/x = 5 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 5y(1) = 0

y(3) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 0,6363

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

İlkel fonksiyon

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limitler

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

Cevap

I = 0,6363

2.İntegraller

Cevap: A = 42,67

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Üst eksi alt integrali alın

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Cevap

A = 42,67

3.Diziler ve seriler

Cevap: L = 0,7358

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Ardışık terimlerin oranı

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Sonuç

L = 0,7358 < 1

Cevap

L = 0,7358

L < 1; bu yüzden seri yakınsar.

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = 0,3679

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ xᵏ/k! = eˣ

Yerine koyun

x = −1

S = e⁻¹ = 0,3679

Cevap

S = 0,3679

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: c = −2,718

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki değer ve eğimler

f(1, 0,5) = 1,359

f_x = 2y²e^2xy → f_x(1, 0,5) = 1,359

f_y = e^2xy(1 + 2xy) → f_y(1, 0,5) = 5,437

Teğet düzlem

z = 1,359 + 1,359(x − 1) + 5,437(y − 0,5)

z = 1,359x + 5,437y − 2,718

Sabit terim

c = −2,718

Cevap

c = −2,718

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: A (1, 2)

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kritik noktalar

f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün.

f_x = −(3x² − 3) = 0

f_y = −(2y − 4) = 0

(1, 2), (−1, 2)

İkinci türev testi

(1, 2): f_xx = −6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 12 → yerel maksimum

(−1, 2): f_xx = 6, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −12 → eyer noktası

Nokta

A (1, 2): yerel maksimum

Cevap

A (1, 2)

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 130,1 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 27 + 453·e^−0,04t

t’yi yerine koyun

T(37) = 27 + 453·0,2276 = 130,1 °C

Cevap

T = 130,1 °C

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 3,704

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = 5x³ → x³y = 5x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

0 = 5/4 + C → C = −1,25

Hesaplayın

y(3) = (5·3⁴/4 + (−1,25))/3³ = 3,704

Cevap

y(3) = 3,704

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2