Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₁² 1/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 1/x[1, 2]

I =

2.İntegrallerZor

y = x doğrusu ile y = x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = xy = x²

V =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ k²·2ᵏ/5ᵏ serisine oran testini uygulayın. L = lim |a_k+1/a_k| değerini bulun.

a_k = k²·2ᵏ/5ᵏ

L =

4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0,5ᵏ/k.

a_k = (−1)^k+1·0,5ᵏ/k

S =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(x, y) = 2y·e^xy için (−1, 2) noktasında v = (−3, 1) yönündeki yönlü türevi, D_uf, bulun.

f(x, y) = 2y·e^xyP = (−1, 2)v = (−3, 1)

D_uf =

6.Çok değişkenli analizZor

I = ∫₀² ∫_y² sin(x²) dx dy integrali bu sırayla hesaplanamaz. İntegral sırasını değiştirin ve hesaplayın.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2

I =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

87 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,11 min⁻¹ ile 5 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 87 °CT_a = 24 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 5 min

T = °C

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 1 koşuluyla y′ + 3y/x = 3 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 3y(1) = 1

y(3) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 0,6931

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = ln x

Sınırları yerine koyun

I = (ln 2 − ln 1) = ln 2 = 0,6931

Cevap

I = 0,6931

2.İntegraller

Cevap: V = 0,4189

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

İntegral alın

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Cevap

V = 0,4189

3.Diziler ve seriler

Cevap: L = 0,4

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Ardışık terimlerin oranı

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·2/5 → 2/5

Sonuç

L = 0,4 < 1

Cevap

L = 0,4

L < 1; bu yüzden seri yakınsar.

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = 0,4055

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

Yerine koyun

x = 0,5

S = ln 1,5 = 0,4055

Cevap

S = 0,4055

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: D_uf = −1,113

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki gradyan

f_x = 2y²e^xy → f_x(−1, 2) = 1,083

f_y = 2e^xy(1 + xy) → f_y(−1, 2) = −0,2707

Birim vektör

|v| = √((−3)² + 1²) = 3,162

u = (−0,9487, 0,3162)

Skaler çarpım

D_uf = 1,083·(−0,9487) + (−0,2707)·0,3162 = −1,113

Cevap

D_uf = −1,113

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: I = 0,8268

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Bölge

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2

Ters sıra

I = ∫₀² ∫₀^x sin(x²) dy dx = ∫₀² x·sin(x²) dx

u = x² yerine koyma

I = [−cos(x²)/2]₀² = 0,8268

Cevap

I = 0,8268

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 60,35 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 24 + 63·e^−0,11t

t’yi yerine koyun

T(5) = 24 + 63·0,5769 = 60,35 °C

Cevap

T = 60,35 °C

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 2,259

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = 3x³ → x³y = 3x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

1 = 3/4 + C → C = 0,25

Hesaplayın

y(3) = (3·3⁴/4 + 0,25)/3³ = 2,259

Cevap

y(3) = 2,259

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2