Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.İntegrallerZor

y = 1 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 1 − x²

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ k!·(x − 3)ᵏ/kᵏ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını, R, bulun.

Σ k!·(x − 3)ᵏ/kᵏx₀ = 3

R =

4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σ_k=1^∞ k·0,25ᵏ.

a_k = k·0,25ᵏ

S =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(x, y) = −2xy − 5x³ − y² için (3, −2) noktasında v = (2, −1) yönündeki yönlü türevi, D_uf, bulun.

f(x, y) = −2xy − 5x³ − y²P = (3, −2)v = (2, −1)

D_uf =

6.Çok değişkenli analizZor

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy fonksiyonunun kritik noktalarını bulun, sınıflandırın ve yerel minimumundaki f değerini, f_min, verin.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy

f_min =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 6y′ + 8y = 0 denklemini y(0) = 2 ve y′(0) = 2 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1.5) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = −3 koşuluyla y′ + 2y/x = 4x başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 2y/x = 4xy(1) = −3

y(3) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 3,75

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Cevap

I = 3,75

2.İntegraller

Cevap: A = 1,333

Sıfırlar

1 − x² = 0 → x = ±1

İntegral alın

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Cevap

A = 1,333

3.Diziler ve seriler

Cevap: R = 2,718

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

Yarıçap

R = 2,718

Cevap

R = 2,718

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = 0,4444

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

Yerine koyun

x = 0,25

S = 0,25/(1 − 0,25)² = 0,4444

Cevap

S = 0,4444

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: D_uf = −116,3

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki gradyan

f_x = −2y − 15x² → f_x(3, −2) = −131

f_y = −2x − 2y → f_y(3, −2) = −2

Birim vektör

|v| = √(2² + (−1)²) = 2,236

u = (0,8944, −0,4472)

Skaler çarpım

D_uf = (−131)·0,8944 + (−2)·(−0,4472) = −116,3

Cevap

D_uf = −116,3

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: f_min = −27

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kritik noktalar

f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün.

f_x = 3x² − 9y = 0

f_y = 3y² − 9x = 0

(0, 0), (3, 3)

İkinci türev testi

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −9, D = −81 → eyer noktası

(3, 3): f_xx = 18, f_yy = 18, f_xy = −9, D = 243 → yerel minimum

Ekstremumdaki değer

f(3, 3) = −27

Cevap

f_min = −27

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,2415

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 2, −2A − 4B = 2

A = 5, B = −3

Hesaplayın

y(1,5) = 5·e⁻³ + (−3)·e⁻⁶ = 0,2415

Cevap

y(1,5) = 0,2415

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 8,556

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫2/x dx} = x²

İntegral alın

(x²y)′ = 4x³ → x²y = 4x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

−3 = 4/4 + C → C = −4

Hesaplayın

y(3) = (4·3⁴/4 + (−4))/3² = 8,556

Cevap

y(3) = 8,556

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2