Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫03 e−x dx'i hesaplayın.
f(x) = e−x[0, 3]
I =
2.İntegrallerZor
y = 0,5x2 ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 0,5x2y = 4x
A =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri ıraksar. Ona tıklayın.
A: Σ 1/(k² + 1)B: Σ (3/2)ᵏC: Σ (1/2)ᵏD: Σ 3/k³
1A: Σ 1/(k² + 1)
2B: Σ (3/2)ᵏ
3C: Σ (1/2)ᵏ
4D: Σ 3/k³
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = ln(1 + x), x = 0,5 noktasında 5. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. Mümkün olan en büyük hatayı, |R₅|, bulmak için M = 5! = 120 ile Lagrange hata sınırını M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanın.
f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0,5M = 120
|R₅| =
5.Çok değişkenli analizOrta
f(x, y) = 4x²y³ + 4xy için (1, 3) noktasında f’nin en büyük değişim hızını, yani |∇f| değerini, bulun.
f(x, y) = 4x²y³ + 4xyP = (1, 3)
|∇f| =
6.Çok değişkenli analizZor
I = ∫02 ∫y2 1/(1 + x²)² dx dy integrali bu sırayla hesaplanamaz. İntegral sırasını değiştirin ve hesaplayın.
f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
y″ + 4y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 1 ve y′(0) = -1 ile çözün. y(2) değerini bulun.
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(2) =
8.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = −3 koşuluyla y′ + y/x = 1 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.
y′ + y/x = 1y(1) = −3
y(2) =
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 0,9502
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = e−x/(−1)
Sınırları yerine koyun
I = (e−3 − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502
Cevap
I = 0,9502
2.İntegraller
Cevap: A = 42,67
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
0,5x2 = 4x → x = 0, x = 8
Üst eksi alt integrali alın
A = [2x2 − 0,1667x3]08 = 42,67
Cevap
A = 42,67
3.Diziler ve seriler
Cevap: B: Σ (3/2)ᵏ
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
B: Σ (3/2)ᵏ → r = 3/2 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
C: Σ (1/2)ᵏ → r = 1/2 olan geometrik seri, |r| < 1: yakınsar.
D: Σ 3/k³ → p = 3 > 1 olan p-serisi: yakınsar.
Cevap
B: Σ (3/2)ᵏ
Cevap
B: Σ (3/2)ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: |R₅| = 0,002604
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev üzerindeki sınır
M = 5! = 120
Lagrange sınırı
|R₅| ≤ 120·0,5⁶/6! = 0,002604
Cevap
|R₅| = 0,002604
Gerçek hata daha küçüktür: |f(0,5) − P₅(0,5)| = 0,001827.
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: |∇f| = 254
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Kısmi türevler
fx = 8xy³ + 4y → fx(1, 3) = 228
fy = 12x²y² + 4x → fy(1, 3) = 112
Gradyanın uzunluğu
|∇f| = √(228² + 112²) = 254
Cevap
|∇f| = 254
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: I = 0,4
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Bölge
0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2
Ters sıra
I = ∫02 ∫0x 1/(1 + x²)² dy dx = ∫02 x·1/(1 + x²)² dx
u = x² yerine koyma
I = [−1/(2(1 + x²))]02 = 0,4
Cevap
I = 0,4
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = 0,05495
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Çift kök
(r + 2)² = 0 → r = −2
Sabitler
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = -1 + 2 = 1
Hesaplayın
y(2) = (1 + 1·2)·e−4 = 0,05495
Cevap
y(2) = 0,05495
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = −0,75
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.