Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫₀π/2 x·sin x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).
f(x) = ln(1 + x), x = 0,3 noktasında 4. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. Mümkün olan en büyük hatayı, |R₄|, bulmak için M = 4! = 24 ile Lagrange hata sınırını M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanın.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,3M = 24
|R₄| =
5.Çok değişkenli analizOrta
f(x, y) = sin(−x + 3y) için (0,5, 0,5) noktasında f’nin en büyük değişim hızını, yani |∇f| değerini, bulun.
f(x, y) = sin(−x + 3y)P = (0,5, 0,5)
|∇f| =
6.Çok değişkenli analizZor
R bölgesinin, y = x² parabolü ile y = 2x doğrusu arasındaki, I = ∬R 1 dA alanını bulun.
y = x²y = 2xf = 1
I =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
340 °C’deki dövme çelik bir parça 25 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,03 min⁻¹ ile 31 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.
T0 = 340 °CTa = 25 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 31 min
T = °C
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir tankta, içinde 10 kg tuz çözünmüş 500 L su var. Litre başına 0,1 kg tuz içeren tuzlu su 2 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. Kaç dakika t sonra tankta 22 kg tuz bulunur?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 1
Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.
u ve dv’yi seçin
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
İlkel fonksiyon
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
Limitler
(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1
Cevap
I = 1
2.İntegraller
Cevap: I = 98,43
Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.
Birinci tur
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
İkinci tur
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Limitler
20,09·(5) − 1·2 = 98,43
Cevap
I = 98,43
3.Diziler ve seriler
Cevap: A: Σ (4/5)ᵏ
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Her seriyi sınayın
A: Σ (4/5)ᵏ → r = 4/5 olan geometrik seri, |r| < 1: yakınsar.
B: Σ ln k / k → k ≥ 3 için 1/k’dan büyüktür: harmonik seriyle karşılaştırmayla ıraksar.
C: Σ (3/2)ᵏ → r = 3/2 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
D: Σ 1/(2k + 7) → Büyük k için 1/(2k) gibi davranır; harmonik seriyle karşılaştırıldığında ıraksar.
Cevap
A: Σ (4/5)ᵏ
Cevap
A: Σ (4/5)ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: |R₄| = 0,000486
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev üzerindeki sınır
M = 4! = 24
Lagrange sınırı
|R₄| ≤ 24·0,3⁵/5! = 0,000486
Cevap
|R₄| = 0,000486
Gerçek hata daha küçüktür: |f(0,3) − P₄(0,3)| = 0,0003893.
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: |∇f| = 1,709
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Kısmi türevler
fx = −1 cos(−x + 3y) → fx(0,5, 0,5) = −0,5403
fy = 3 cos(−x + 3y) → fy(0,5, 0,5) = 1,621
Gradyanın uzunluğu
|∇f| = √((−0,5403)² + 1,621²) = 1,709
Cevap
|∇f| = 1,709
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: I = 1,333
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Kesişim noktaları
x² = 2x → x = 0, x = 2
İç integral
∫x²2x 1 dy = 2x − x²
Dış integral
I = ∫02 (2x − x²) dx = 1,333
Cevap
I = 1,333
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: T = 149,3 °C
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma yasasının çözümü
T(t) = 25 + 315·e−0,03t
t’yi yerine koyun
T(31) = 25 + 315·0,3946 = 149,3 °C
Cevap
T = 149,3 °C
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 89,17 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.